La altura de la pirámide de Keops y el teorema de Tales

Se trata de un problema con el que algunos profesores animan a los alumnos a practicar al aire libre (cálculo de la altura de un gran árbol, una torre, etc.) y que forma parte de la denominada Matemática Recreativa. Dice así:

En la Necrópolis de Guiza en Egipto, la más antigua de las siete maravillas del mundo y la única que aún se conserva, se encuentran las famosas pirámides construidas por los faraones de la cuarta dinastía, Keops, Kefrén y Micerino: Jufu (Keops), también conocida como la Gran Pirámide, Jafra (Kefrén) y, algo más pequeña, Menkaura (Micerino).

Necrópolis de Guiza (Giza o Gizah)

Cuenta la leyenda relatada por Plutarco que Tales de Mileto, uno de los llamados siete sabios de Grecia, durante uno de sus viajes a Egipto se encontró cierto día visitando la Necrópolis con el joven e inquieto Rey de Egipto, quien deslumbrado por la fama y sabiduría de Tales le preguntó si podía medir la altura de la majestuosa pirámide de Keops que se levantaba ante ellos.

Era por la mañana, muy temprano, y acababa de salir el sol por el horizonte. Es sabido que a esa hora las sombras que las personas y los objetos proyectan son muy largas, luego se acortan a medida que avanza el día, sobre todo al mediodía, y ya por la tarde empiezan de nuevo a alargarse. Ante la pregunta del Rey, Tales reflexionó unos instantes y le contestó que no solo la calcularía, sino que incluso la mediría sin ayuda de ningún instrumento. Dicho esto, tomó dos bastones de igual longitud (también pueden ser distintos, e incluso con uno solo es posible), colocó uno en posición vertical y el otro en horizontal, y se puso a esperar. Como todavía era muy pronto, la sombra proyectada por el bastón vertical superaba con mucho la longitud del bastón horizontal, pero a medida que avanzaba el día esa sombra se fue acortando. Cuando su longitud se hizo igual que la del bastón apoyado en la arena, Tales le dijo al Rey:

“Ahora ya es muy fácil conocer la altura de la pirámide“.

¿Cómo resolvió Tales el reto? ¿En qué se basó para medir la altura de la pirámide?

Esta leyenda ha llegado hasta nosotros a través de diversas fuentes como el historiador romano Plinio (s. I dC) o Diógenes Laercio, historiador griego que vivió entre los siglos II y III dC. Sin embargo, el relato más completo e interesante, es el que ya hemos comentado de Plutarco, un griego que vivió durante el Imperio romano, autor de las célebres “Vidas paralelas” que recogen la vida de diferentes personajes de la historia de Grecia y Roma.

Ver solución en: “El problema del joyero y el acertijo del collar de la dama”.

Tales (o Thales) de Mileto, además de comerciante, científico y estadista, fue un sabio filósofo y matemático griego que vivió entre los siglos VI y V aC. Aunque no se conoce mucho sobre su vida, ya desde los tiempos de Platón su figura aparece enmarcada en la leyenda. Un hecho cierto es que apenas se tiene constancia clara acerca de sus escritos. Por ejemplo, el conocimiento de la filosofía de Tales  y su escuela de Mileto, de la que fue fundador, se debe a Aristóteles quien en su obra Metafísica escribió: Tales de Mileto enseñó que “todas las cosas son agua”. Hay que recordar que los primeros filósofos griegos veían en la tierra, el agua, el aire y el fuego a los cuatro elementos a partir de los cuales se generan todos los demás. Sin embargo, Tales afirmaba que el agua es la sustancia universal primaria, el principio material de todas las cosas de donde proceden el resto.

Algunos autores han dicho de Tales que adquirió parte de sus conocimientos de los sacerdotes durante un viaje que realizó siendo todavía joven a Egipto. Allí fue donde puso en práctica sus logros en matemáticas, en especial en geometría, áreas en las que luego hizo descubrimientos fundamentales. Aunque muchos libros le atribuyen hasta cinco teoremas de geometría elemental, existen evidencias de solo dos:

Teorema primero:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes (sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados son proporcionales entre si).
Este teorema recoge uno de los principios básicos de la geometría, siendo su principal aplicación, y la razón de su fama, el establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, de la cual se obtiene el siguiente corolario:
“Si dos triángulos son semejantes sus lados son proporcionales”.
O lo que es lo mismo, la razón entre la longitud de dos de ellos se mantiene constante en el otro. Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente. Según Herodoto, el propio Tales empleó este corolario para medir en Egipto la altura de la pirámide de Keops. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente que es su corolario.

Teorema segundo
Se trata de un teorema de geometría enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos. Su enunciado es el siguiente:
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. El triángulo ABC resulta ser un triángulo rectángulo.
Aunque se acepta por haber sostenido en su época lo que expresa el teorema, no existe constancia histórica de su atribución.

Otros teoremas también atribuidos a Tales, algunos con dudas porque no quedó nada escrito, son:
- Cualquier diámetro de un círculo lo divide en dos partes iguales.
– Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales.
– Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.
Parece ser que sobre este último, Tales descubrió sólo la primera parte. Así lo dejó reflejado el filósofo Proclo, primer testimonio escrito sobre su vida y obra: “Estamos en deuda con Tales por el descubrimiento de éste y muchos otros teoremas“.

Tales fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia, título dado por la tradición griega a un grupo de sabios que incluye a filósofos, estadistas o legisladores, y que se mantuvo a lo largo de los siglos. Para terminar, que mejor que una anécdota de Tales en su faceta de astrónomo contada por Platón. “Una noche Tales estaba observando el cielo, más de repente tropezó y se cayó. Uno de sus sirvientes le levantó presto y le dijo: “Cómo pretendes entender lo que pasa en el cielo, si no puedes ver lo que se encuentra a tus pies en la tierra”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Un recorrido por el Océano”

Es muy posible que la primera respuesta que nos viene a la mente sea: “siete”. Es incorrecta. No solo se deberán tener en cuenta los barcos que navegan ya hacia El Havre, sino también parte de los que saldrán en esa dirección los días siguientes.

Cuando nuestro barco sale de El Havre en dirección a Nueva York, están ya navegando en dirección a El Havre otros ocho buques de la misma compañía (de ellos, uno entra en ese momento en el puerto de El Havre y otro parte de Nueva York; el resto, se encuentran en el trayecto). Por tanto, es un hecho que nuestro buque se encontrará al menos con estos ocho. Además, durante los siete días de navegación, antes de nuestra llegada a Nueva York saldrán de este puerto otros siete buques (salida diaria) con los que también se cruzará nuestro barco. Por tanto, la respuesta correcta es: “quince“.

Se puede comprobar, quizás de forma más clara, en el gráfico de la figura en el que, distribuidos los días en el eje horizontal, se han representado las rutas de circulación seguidas esos días por los distintos barcos de la compañía. Se puede observar, por ejemplo, como el barco cuya ruta se refleja por la recta AB, que sale el día 5 de El Havre y llega el día 12 a Nueva York, se cruzará en el océano con 13 buques, a los que habrá que añadir otros dos: el que llega a El Havre el día 5 (salida de nuestro buque) y el que sale de Nueva York el 12 (llegada de nuestro buque). Lo que hace un total de 15 barcos.

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