Una reparación perfecta o el truco del carpintero

En línea con el post “El misterio del triángulo o el cuadrado perdido” planteamos el siguiente problema.

Un buque se encuentra navegando. De pronto, en el fondo de madera del casco aparece levantado un tablón de dimensiones rectangulares 13 cm * 5 cm y superficie de 65 cm2. Se hace necesario sustituirlo por motivos de seguridad.

Llega el carpintero a realizar la reparación y trae una tabla cuadrada cuyo lado tiene una longitud de 8 cm y superficie igual a 64 cm2. La primera operación que realiza es serrar la tabla en cuatro partes (A, B, C y D) como muestra la figura siguiente.

Una vez finalizada la operación anterior, recompone las cuatro piezas resultantes hasta formar un rectángulo de dimensiones 13 cm * 5 cm, exactamente igual al hueco dejado por el tablón levantado en el casco, pero con la diferencia de que la superficie de la tabla suma 64 cm2 frente a los 65 cm2 que tiene el hueco dejado por el tablón.  Como las dimensiones exteriores son las requeridas, procede a ensamblar las tablas y tapar el hueco dejado por el tablón según se muestra en la fifugura inferior.

Resultado:
El carpintero convierte un cuadrado de 64 cm2 de área en un rectángulo cuya superficie es de 65 cm2. ¿Cómo ha podido suceder?

Ver solución en:
“De como un ganso y una cigüeña resolvieron un problema”.

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Solución al problema planteado en el post:
“El misterio del triángulo o el cuadrado perdido”

La clave de la paradoja está en que se trata de dos figuras con superficies distintas y no iguales como aparentan. La comprobación es muy sencilla:
– área 2 piezas verdes: 21 cuadrados.
– área 2 piezas amarillas: 28 cuadrados.
– área 2 piezas azules: 10 cuadrados

Por tanto la superficie total de cada una de las figuras es:
– Figura izquierda: 59 cm2
– Figura derecha: 61 cm2 (igual a la anterior, más los dos “agujeros o huecos“).
Y, además, ambas superficies son distintas a la que tendría realmente un triángulo de 10 cm de base por 12 cm de altura (60 cm2), lo que nos permite afirmar que las figuras mostradas no son triángulos.

Esta conclusión se ve aún con mayor claridad si representamos un triángulo de altura 10 * 12.

y a continuación ampliamos las zonas donde los triángulos rectángulos que forman las piezas azules y verdes tienen su línea de base.

Se puede comprobar que las hipotenusas de los triángulos rectángulos de las piezas con los colores citados no tienen la misma inclinación, y por tanto las figuras geométricas de las que hemos partido no pueden formar un triángulo sino que se trata de polígonos de cinco lados.

Esta paradoja de “el cuadrado perdido” es una ilusión óptica usada en clases de matemáticas para ayudar a los estudiantes a razonar sobre las figuras geométricas, y a tener en cuenta que, a veces, “las apariencias engañan”.

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