De cómo un ganso y una cigüeña resolvieron un problema

Relato perteneciente al libro “En el reino del ingenio” de E.I. Ignátiev, escrito a principios de siglo, una de las primeras obras populares sobre matemáticas editadas en ruso. En general, para resolver estos problemas solo se necesitan unos mínimos conocimientos de aritmética y geometría y un modo de pensar lógico.

Volaba una bandada de gansos y a su encuentro un solo ganso: “¡Hola, cien gansos!” saluda el ganso a la bandada. Un ganso ya viejo, que volaba a la cabeza de la banda, le responde: “¡No, no somos cien gansos! Pero si fuésemos otros tantos, más la mitad, más la cuarta parte y también tú, ganso, entonces seríamos cien gansos. Pero ahora… ¡Calcúlalo tú, cuántos somos!”

Siguió volando el ganso solitario y se puso a pensar. ¡En efecto! ¿Con cuántos hermanos gansos se encontró? Pensaba y pensaba el ganso, pero por más cálculos que hacía no podía resolver el problema. De pronto vio a la orilla de un estanque una cigüeña; vagaba la zancuda en busca de ranas. La cigüeña es un ave arrogante, que goza entre otras aves de fama como matemática; pasa días enteros pensando, a veces inmóvil sobre una pata, por lo visto, resolviendo problemas. Se alegró el ganso, bajó al estanque, nadó hacia la cigüeña y le contó cómo se había encontrado con una bandada de hermanos gansos y el problema que le había planteado el ganso-guía, que no podía resolver de ninguna forma.

-¡Bueno! – dijo con importancia la cigüeña, probaremos a resolverlo. Pero estate atento y esmérate en comprenderme. ¿Me escuchas?

– ¡Te escucho y me esmeraré!, respondió el ganso.

– Entonces… ¿cómo te dijeron? … Si a los gansos con que te encontraste agregases otros tantos, más la mitad, más la cuarta parte y también a ti, entonces serían cien gansos. ¿Así?

– ¡Así! respondió el ganso.

– Ahora- dijo la cigüeña, mira lo que voy a trazar en las arenas de esta orilla.

La cigüeña encorvó el pescuezo y con el pico trazó una raya, al lado otra igual, luego otra igual a la mitad y otra igual a la cuarta parte de las primeras, por último otra pequeñita, casi como un punto. Resultó lo mostrado en la fig. 1. El ganso nadó hasta la misma orilla, salió tambaleándose a la arena, miró, pero no comprendió nada.

– ¿Comprendes? -preguntó la cigüeña.

– ¡Todavía no!- respondió con tristeza el ganso.

– ¡Vaya! Pues mira: conforme te dijeron,”una banda más otra banda más la mitad de una banda más la cuarta parte de una banda y también tú, ganso”, así lo he dibujado yo: una raya, más otra raya, más media raya, más un cuarto de raya y por último una rayita pequeña, es decir, a ti, ¿Comprendiste?

– ¡Sí, comprendo! -con alegría respondió el ganso.

¿Si a la banda con que te encontraste añades otra banda, más la mitad de una banda, más cuarto de banda y también a ti, ganso, cuántos gansos en total serían?

– ¡Cien gansos!

– ¿Y sin ti cuántos? — Noventa y nueve.

– ¡Bien! Quitemos en nuestro dibujo la rayita que te representa a ti, ganso, y marquemos que quedan 99 gansos.

La cigüeña con el pico hizo en la arena lo que vemos en la fig. 2.

– Ahora reflexiona un poco- continuó la cigüeña, un cuarto de banda más una mitad de banda, ¿cuántos cuartos de banda son?

El ganso se quedó pensativo, miró las líneas dibujadas en la arena y dijo:

– ¡La línea que representa la mitad de una banda es dos veces más larga que la línea que indica un cuarto de banda, es decir, en una mitad van incluidos dos cuartos. Entonces, una mitad más un cuarto de banda, es lo mismo que tres cuartos de banda.

– ¡Bravo!- elogió la cigüeña al ganso. – Y una banda completa, ¿cuántos cuartos contiene? – – ¡Claro que cuatro!- respondió el ganso.

– ¡Cierto! Pero en nuestro caso tenemos una banda, más otra banda, más la mitad de banda, más un cuarto de banda y todo ello supone 99 gansos. Entonces, si pasamos todo a cuartos, ¿cuántos cuartos en total resultan?

El ganso lo pensó y dijo:

– Una banda es lo mismo que 4 cuartos de banda, más otra banda, otros 4 cuartos, en total 8 cuartos; luego una mitad de banda es igual a 2 cuartos, sumando tenemos 10 cuartos de banda y, por último, un cuarto más de banda, en total 11 cuartos de banda lo que supone 99 gansos.

– ¡Bien!- dijo la cigüeña -Ahora dime: ¿qué has obtenido al fin y al cabo?

– He obtenido- respondió el ganso -que en once cuartos de la banda con que me encontré están incluidos 99 gansos.

– Y por consiguiente, ¿cuántos hay en un cuarto de banda? El ganso dividió 99 por 11 y respondió: – En un cuarto de banda hay 9 gansos.

– ¿Y en una banda completa, cuántos?

– Una banda completa consta de cuatro cuartos… Yo me encontré con 36 gansos- exclamó con alegría el ganso.

– ¡Eso es! – pronunció con orgullo la cigüeña – ¡Tú solo, por lo visto, no llegarías a acertarlo!… ¡Ay de ti… ganso!

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Solución al problema planteado en el post:

“Una reparación perfecta o el truco del carpintero”

Es fácil ver que después de cortar la tabla cuadrada según se indica en la figura, los triángulos A y B son iguales, así como los trapecios C y D. La clave de la paradoja está en que los lados inclinados de A y C por una parte, y los de B y D por otra, no tienen el mismo ángulo de inclinación y por tanto no forman una línea recta continua sino una quebrada como muestra la figura 3.

El área del rectángulo obtenido sí es igual a 65 cm2, que es el requerido por la reparación, pero en él se ha generado un hueco o abertura en forma de paralelogramo, cuyo área de 1 cm2 (figura 4) hace que al final el astuto carpintero no tenga más remedio que enmasillar o taponar si quiere que no siga entrando agua.

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