El enigma del teorema de Fermat

Antes, refresquemos un poco la memoria. Es sabido que el teorema de Pitágoras fue formulado allá por el año 500 antes de Cristo. Todos recordamos su famoso enunciado: “En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (x2+y2=z2)”.

Más tarde, en el año 300, también antes de Cristo, fue Euclides quien planteó una mejora adicional al citado teorema cuando descubrió que “un número perfecto siempre es un múltiplo de dos números, donde uno de ellos es una potencia de 2 y el otro es el resultado de la diferencia que hay entre la siguiente potencia de 2 y 1”. Por si se nos ha olvidado, recordar que un número perfecto es aquel número entero igual a la suma de los divisores positivos menores que él mismo. Es decir:

6 = 1+2+3 = 21 x (22 – 1)
28 = 1+2+4+7+14 = 22 x (23 – 1)
496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496= 23 x (24 – 1)

Se puede comprobar que 6 es un número perfecto porque sus divisores propios son 1, 2 y 3, y por tanto 6 = 1+2+ 3.  Lo mismo sucede con los números perfectos siguientes: 28, 496, 8128, y así hasta el infinito, sin encontrar ningún otro que incumpla esta regla.

Tanto Pitágoras como Euclides fueron en cierta manera los precursores del célebre “teorema de Fermat”, un paso muy importante en toda la serie de grandes demostraciones. Fermat planteó un enigma que iba mucho más allá, con el que sacó de sus casillas a todos los matemáticos durante casi cuatrocientos años, hasta que un inglés llamado Andrew Wiles, no hace mucho tiempo, en el año 1993, consiguió resolver su famoso rompecabezas.

El teorema de Fermat es un problema engañosamente sencillo.

En la década de 1630 ya había aparecido la traducción francesa de los famosos libros de la Arithmética de Diofanto, gran matemático griego, que contenían la relación completa de las teorías numéricas formuladas por Pitágoras, Euclides y otros matemáticos de la Antigüedad. Fue entonces cuando Fermat, al estudiar el teorema de Pitágoras, en un ataque de genialidad, planteó su inmortal problema al formular una variante del mismo cambiando el cuadrado por un cubo, es decir:

x3+y3=z3

Y a continuación escribió el siguiente enunciado:

“En todo el infinito universo de los números no existe un número entero donde un cubo pueda definirse como la suma de dos cubos”. Y no solo eso, sino que lo hizo extensible a todos los números cuya potencia fuera mayor de 2. O lo que es lo mismo xn+yn=zn donde n > 2

Lo que Fermat hizo fue convertir, mediante un pequeño cambio teórico, una fórmula que ofrecía infinita cantidad de soluciones perfectas, como el teorema de Pitágoras (x2+y2=z2), en otra que conducía a un callejón sin salida como  (x3+y3=z3), sin solución posible para números enteros.

Los grandes matemáticos de la época no tardaron en admitir que, en efecto, así era. Mediante el clásico método “prueba-error” comprobaron que era imposible encontrar un número que pusiera en contradicción lo afirmado por Fermat, pero además con un problema añadido: no lo podían demostrar; la cantidad de números existentes es infinita y es imposible contrastar todos ellos uno a uno. De ahí que, al no estar seguros al cien por cien de que pudiese aparecer algún otro número que echara por tierra el teorema, éste no se podía considerar demostrable. Un principio de las Matemáticas es que los supuestos siempre deben ser comprobables matemáticamente no solo por una fórmula universal sino también con una base científica correcta. Cualquier matemático para validar un teorema debe ser capaz de iniciar su afirmación con la siguiente frase: “Es así porque ……” y a continuación exponer su argumento. Y eso no se ha conseguido con el teorema de Fermat hasta hace muy poco tiempo.

Fermat, que tenía por costumbre burlarse siempre que podía de sus colegas, no dejó nada escrito sobre la demostración de su teorema, con lo que su resolución pronto se convirtió en un verdadero enigma. Incluso se permitió el lujo de anotar en la portada de uno de los libros de la Arithmética de Diofanto, concretamente el nº 6, además del planteamiento, solo una pequeña frase que decía:
“Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet”,
palabras que pasaron a ser inmortales y que significaban: “Tengo una prueba verdaderamente maravillosa para esta afirmación, pero el margen es demasiado estrecho para contenerla”. Y así quedó escrito para siempre. Menos mal que su hijo Clément- Samuel, aún comprendiendo la afición de su padre por no aportar datos concretos en la demostración de sus teoremas, al morir éste, intentó evitar que el mundo perdiera parte de sus descubrimientos. Gracias a sus esfuerzos se ha podido saber algo más sobre sus teorías. Clément-Samuel se pasó cinco años recopilando las anotaciones y cartas de su padre y examinando las notas que solía escribir en los márgenes de los libros de la Arithmética. En 1670 publicó la “Arithmetica de Diofanto con anotaciones de P. de Fermat”, que incluye hasta 48 observaciones que su padre había hecho, aunque por desgracia ninguna de ellas correspondía a la demostración de sus teoremas.

Aritmetica de Diofanto. Libro seis. Con anotaciones de FermatSi la intención de Fermat era que sus compañeros matemáticos montaran en cólera, lo logró a las mil maravillas. Desde 1637, cualquier matemático que se preciara dedicó gran parte de su tiempo, a veces demasiado, a hallar la prueba de Fermat. Generaciones enteras de pensadores fracasaron, y solo Andrew Wiles , en 1993, dio con la solución, después de 25 años intentando resolver el enigma, los diez últimos casi a tiempo completo.

Pierre de Fermat nació en 1601 en Beaumont-de-Lomagne, en el suroeste de Francia, y por irónico que pueda parecer no era matemático, sino un funcionario que tenía como hobby el estudio de las Matemáticas en su tiempo libre. En 1631 fue nombrado conseiller au Parlament de Toulouse, una especie de concejal de la cámara de peticiones. Su labor consistía en servir de contacto entre los súbditos locales y la monarquía, y asegurarse de que se aplicaran en todos los lugares los decretos reales dictados desde París. Aunque su labor le exigía bastante tiempo, el poco que le quedaba libre lo dedicó a las Matemáticas. No debemos olvidar que en aquellos tiempos, a los jueces se les pedía que evitaran la vida social con el fin de no dar la sensación que favorecían a sus amigos y conocidos en la Corte.

Fermat siempre se mostró reacio a revelar sus demostraciones. La publicación y el reconocimiento no significaban nada para él, y se sentía más que satisfecho con el simple hecho de crear nuevos teoremas. Pero el genio tenía un rasgo muy característico: solía combinar su discreción con la alegría de molestar al resto de sus colegas cuando se veía obligado a comunicarse con ellos. Les solía escribir cartas enunciando sus más recientes demostraciones, al mismo tiempo no les facilitaba información alguna, retándoles a encontrarla la solución si es que podían. En una de esas ocasiones fue cuando escribió en el borde del libro de Diofanto su famosa frase a la que ya hemos hecho referencia. De sus palabras parecía que conocía la verdadera solución, y que no tenía ninguna intención de escribirla en detalle, ni por supuesto de publicarla. Hay quien dice que era porque no había logrado dar con la solución completa, pero es un hecho cierto que, a medida que pasaba el tiempo, todas sus observaciones fueron demostradas una por una, siendo su famoso teorema el más obstinado en rendirse.

John Wallis 02Fermat, considerado como uno de los mayores genios dotados para las Matemáticas, tenía una formación totalmente autodidacta. El filósofo y también matemático Rene Descartes se refería a él siempre de forma despectiva, y otro de sus estudiosos, el insigne matemático inglés John Wallis, lo llamaba “ese maldito francés”.

Una muestra del interés que siempre han despertado Fermat y sus teoremas se refleja en lo manifestado en una reciente entrevista por Andrew Wiles, decía: “No hay otro problema que pueda justificar lo mismo para mí. Fue la ilusión de mi infancia. Nada puede reemplazar eso. Lo he resuelto. Intentaré resolver otros problemas, estoy seguro. Algunos serán muy difíciles y tendré una sensación de realización otra vez, pero no hay ningún problema matemático que me pueda cautivar como lo hizo Fermat”. Dado que Wiles utilizó más de 100 páginas y modernas técnicas matemáticas para exponer su demostración, con el apoyo de uno de los programas informáticos más avanzado del mundo, en la práctica es imposible que ésta sea la misma que insinuó Fermat.

Fermat no solo fue un genio de las matemáticas sino que además fue un gran provocador de muchos de sus contemporáneos.

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