El camino más corto entre la araña y la mosca

Desde siempre a muchas de las personas interesadas por las Ciencias les suele atraer la resolución de “problemas curiosos” que despiertan el interés, bien por su enunciado entretenido, bien por lo ingenioso de sus soluciones, o bien porque la respuesta verdadera no es, generalmente, la más lógica a primera vista.

Grandes matemáticos se han ocupado de este tipo de problemas que, además de servir de distracción, suelen ejercitar, y mucho, la inteligencia. En esa línea hemos procurado enfocar todos aquellos ejemplos de Ciencias y Matemáticas y en concreto el problema siguiente.

Antes queremos hacer una salvedad con respecto a posts anteriores: hasta ahora, cuando proponíamos un enunciado dejábamos la solución para publicarla en un próximo artículo. Aquí haremos una excepción: colocaremos en este mismo post tanto el problema como su solución, porque aunque parece muy sencillo la realidad no es así. No siempre, pero en este caso si, las apariencias engañan, y no siempre, a veces sí, la recta es el camino más corto entre dos puntos.

Al final del artículo se reflejará también la solución al problema planteado en: “Historia de los dos ciclistas y una mosca”.

Problema:

La figura 1 representa un salón de forma rectangular que tiene 20 m. de largo, 10 m. de ancho y 10 m. de alto. Una mosca se encuentra durmiendo en el punto M, en el eje vertical de la pared de un frente a 1 m. de distancia del techo; y cerca, colocada en el punto A del eje vertical de la pared del frente opuesto a 1 m. de distancia del piso, una araña está al acecho. ¿Cuál es el camino más corto que deberá seguir la araña para atrapar la mosca? (Se sobreentiende que la trayectoria debe realizarse sobre paredes, piso o techo).

Recomendamos insistir un poco antes de darse por vencidos y comprobar la solución correcta. ¡¡Hay que estrujarse las meninges¡¡

Solución:

Lo primero que se nos ocurre a la mayoría de las personas es que el camino más corto para que la araña atrape a la mosca sería recorrer en vertical, bien hacia arriba para llegar al techo o bien hacia abajo para llegar hasta el suelo; una vez allí dirigirse en paralelo a las paredes hasta llegar a la pared opuesta, y de nuevo moverse en vertical para alcanzar por fin a la mosca. Los dos caminos posibles, por el techo o por el suelo, están representados en la figura 1 por las líneas azul gruesoazul de puntos respectivamente, y en ambos casos puede verse que la distancia recorrida sería de 30 m. (1+20+9).

Figura 1

En la figura 2, donde se representa el desarrollo en el plano del paralelepípedo de la habitación, se puede comprobar, quizás con mayor claridad, que el camino seguido por la araña por el suelo (sucedería lo mismo con su opuesto por el techo) tiene la longitud de 30 m. antes citada.

Figura 2

Ahora bien, en geometría, como en tantas otras cosas, a veces las apariencias engañan. Si hacemos el desarrollo del mismo paralelepípedo de forma distinta, tal y como se muestra en la figura 3, encontramos que el camino más corto entre los puntos A (araña) y M (mosca) resulta ser la recta AM señalada en color rojo, y además su longitud, hipotenusa del triángulo rectángulo ABM con catetos de 22 m. y 20 m, sería, de acuerdo con el conocido teorema de Pitágoras, 29,73 m.

Valor inferior al inicialmente pensado de 30 m.

Figura 3

En la figura 4 podemos ver también cuál sería, de forma aproximada, el itinerario a seguir por la araña para este camino más corto.


Figura 4

Sin embargo, tampoco esta última solución es la verdadera. En efecto, si desarrollamos el paralelepípedo como indica la figura 5 obtendremos otro camino posible.

Figura 5

cuyo recorrido, de una forma aproximada, podemos comprobar en la figura 6, y cuya longitud entre los puntos AM, recta señalada en color verde, hipotenusa del triángulo rectángulo ABM con catetos de 26 m. y 14 m, sería 29,53 m., valor aún menor que el anterior.

Figura 6

Hemos visto, pues, como el problema de la araña y la mosca se ha complicado más de lo que parecía en un principio, y aún lo sería más si los tres lados del paralelepípedo tuviesen diferente longitud. Este sencillo ejemplo ha servido para darnos cuenta que no siempre la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta, que si bien es cierto en un plano no lo es en un poliedro, donde existen varias formas “rectas” de ir de desde un punto a otro. Estas líneas o “rectas especiales” se conocen con el nombre de geodésicas y definen la mínima longitud que une dos puntos de una superficie dada.

Este problema fue propuesto a principios del siglo XX por el matemático inglés Henry E. Dudeney, uno de los mejores creadores de juegos y puzzles matemáticos, y revela, gráficamente, como nuestras nociones intuitivas del espacio nos engañan casi siempre.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el artículo:“Historia de los dos ciclistas y una mosca”

La mayoría de las veces, para resolverlo, nos “embarcamos” en diversos cálculos y teorías “finas” de velocidades relativas o similares, sin darnos cuenta que la solución más fácil es ver que la mosca voló sin parar durante 3 horas (el tiempo que tardaron en encontrarse los dos ciclistas a la velocidad de 50 Km/hora), y por tanto cubrió una distancia de 300 Km. (3 horas por su velocidad de 100 Km/hora).

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