El problema de las esferas, su peso y Escher

Un problema que se resuelve con puro sentido común y elementales conocimientos matemáticos, pero donde las apariencias a veces engañan.

Se dispone de tres cubos de dimensiones iguales.
En el primero se encuentra en su interior una esfera de Escher de diámetro igual a la altura del cubo.

En el segundo existen 2 capas de 4 esferas cada una, o sea un total de 8 esferas, todas iguales, cuyo diámetro es igual a la mitad de la altura del cubo.

Y en el tercero se han colocado 8 capas de 64 esferas cada capa, o sea un total de 512 esferas, también todas iguales, con un diámetro de 1/8 de la altura del cubo.

La pregunta es: Si todas las esferas son del mismo material ¿Qué cubo pesa más?

Nota.-
Para que nadie se pierda en disquisiciones inútiles, la “esfera de Escher” es una litografía muy famosa que solo es una excusa para hablar a continuación de la obra de M.C Escher, artista no muy conocido pero si reconocido.

Ver solución en: “El acertijo de los tres sombreros”.

M.C. Escher, artista y diseñador holandés ya fallecido (1972), se hizo famoso por diseñar imágenes que a veces presentan figuras imposibles, mostrando en un plano la proyección del espacio tridimensional, y lo que es más importante con una gran percepción de los conceptos geométricos.

Su obra más conocida es quizás la litografía “Mano con globo reflectante” en la que se ve al propio Escher, y el entorno que le rodea, contemplando su imagen reflejada en una esfera que sujeta con la mano. El espejo esférico no solo ofrece la imagen panorámica, sino que la deforma y comprime en un círculo perfecto, de tal forma que se mueva como se mueva la esfera siempre se verá, más grande o más pequeña, su imagen dentro de él.

La razón es que los espejos esféricos tienen la propiedad de que el punto medio entre nuestros ojos siempre está situado en el centro del círculo. Se desplazará la esfera, se moverá la imagen reflejada, pero los ojos y la imagen del observador no pueden escapar nunca. Lo dice el propio Escher: “nunca uno se puede salir de ese punto central”. En esta obra sugiere una realidad que no es tal como la percibimos. Se dibuja a sí mismo sosteniendo una esfera en la que ve su figura y la habitación con todo lujo de detalles, un dibujo tridimensional que en realidad no lo es, y sí un dibujo realizado sobre un plano.

Otra obra suya en línea con la anterior es “Naturaleza muerta con esfera reflectante” en la que sustituye la esfera por una botella tumbada, también esférica, apoyada sobre el cuello.

M.C. Escher es difícil de clasificar como artista. Más bien pragmático, no basaba el resultado de sus obras en eso tan de moda que son los sentimientos cuando alguien pretende explicar algo que no sabe muy bien que es. Simplemente hacía lo que le apetecía, lo que su imaginación creía que debía de ser plasmado en cada momento. Hasta el punto de comentar que no le interesaba nada en particular sino solo las cosas que iban pasando por su cabeza. Le gustaba crear su propio universo.

Pese a no tener formación matemática, sus trabajos casi interesan más a los científicos que a sus compañeros artistas. Poseía una aguda mente matemática pero nunca sobresalió en esta materia, más bien al contrario, tuvo muchas dificultades durante sus estudios aunque si destacaba en las clases de dibujo. Sin embargo, en sus trabajos es fácil imaginar conceptos como traslaciones, simetrías, hasta geometría profunda, que reflejan como el campo de las dos dimensiones puede llegar a generar ilusiones ópticas.

Siguiendo con sus trabajos relacionados con la geometría esférica, otra litografía muy conocida es “Las tres esferas”. Muestra a tres esferas de igual tamaño colocadas sobre una mesa. La de la izquierda es de vidrio, deja pasar la luz y aumenta la estructura de la mesa; la del centro es totalmente reflectante, y refleja también a las otras dos esferas; y la tercera es opaca y no refleja nada.

Escher no solo destacó en el arte de la litografía sino que sus grabados en madera y xilografías, así como sus bocetos y diseños previos, son también trabajos muy reconocidos.  Para quien esté interesado en conocer más de su vida y obra lo puede ver aquí.

Aplicando a rajatabla el viejo principio de Leonardo da Vinci de que todo dibujo la mayoría de las veces es engaño, Escher lo hace sin apenas darnos cuenta: pasa de las dos dimensiones a simular las tres, o a la inversa, de una forma natural. Según se mire el espejo, que actúa de eje visual y real, las figuras recuperan o no la tercera dimensión. Todo tiene aspecto real, coherente, tanto que a veces nos sobrepasa.

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