Las ecuaciones diofánticas, tres reyes, un mono y el reparto de plátanos

Hace algún tiempo hicimos referencia al célebre teorema de Fermat. Hoy hablaremos de las ecuaciones diofánticas de gran influencia en su resolución y uno de los trabajos de investigación que más ha impulsado la Teoría de Números. Se definen así aquellas ecuaciones algebraicas de varias variables que solo admiten como soluciones válidas números enteros. Un ejemplo es la ecuación de dos variables x+y=4. Si aceptamos como válido cualquier número real (entero o no), se puede comprobar que tendría infinitas soluciones. Ahora bien, si restringimos su campo al de los números enteros se limitan sus soluciones. En el caso que nos ocupa serían tres: (1,3) (2,2) y (3,1).

Las ecuaciones diofánticas, muy sencillas de planteamiento, para su resolución solo requieren conocimientos básicos. Su campo abarca desde las situaciones más comunes de nuestra vida diaria a las más complicadas de la física nuclear. Su nombre se debe a Diofanto quien las incluyó en su famosa obra “Aritmética”. Un problema típico de ecuaciones diofánticas es el de “los tres reyes, el mono y los plátanos”. Dice así:

Tres reyes de un tablero de ajedrez, que formaban sociedad, tenían un mono. Una tarde compraron una partida de plátanos con intención de repartírsela al día siguiente.
Llegada la noche uno de ellos se levantó, se puso a contar los plátanos, e hizo tres partes. Tomó una de ellas para si y dejó el resto (otras dos partes). Viendo que después del reparto le había sobrado un plátano se lo dio al mono.
Poco después se despertó otro rey e hizo lo mismo que el anterior… se fue a contar los plátanos para coger su tercera parte. Después de tomar esa cantidad y dejar las otras dos partes, vio que sobraba un plátano y se lo dio también al mono.
Al poco tiempo se levantó el tercer rey, sin sospechar lo que habían hecho sus compañeros; al querer tomar su tercera parte vio que además le sobraba un plátano, y se lo dio de nuevo al mono. Finalmente se llevó la parte que creyó le correspondía, dejando el resto, y se fue a acostar.
A la mañana siguiente, cuando todos se levantaron, ninguno dijo nada de lo que habían estado haciendo la noche anterior. Hicieron el reparto de los plátanos que había en ese momento, cada uno se llevó la tercera parte y un plátano que les sobró se lo dieron también al mono.

¿Cuál es el menor número posible de plátanos para realizar estas operaciones?
Nota.- Como ayuda diremos que el planteamiento se puede reducir a una ecuación diofántica de dos variables similar al ejemplo anterior de x+y= 4, solo que está restringida a una sola solución al haberla limitado con la frase: “… menor número de plátanos”

Ver solución en: “Los 21 vasos y el ladrón descubierto”.

Aunque no sea necesario para la resolución del problema, es posible que ayude a su comprensión, y sobre todo a refrescar conocimientos, recordar algunas nociones básicas.

Una ecuación es una igualdad compuesta por números e incógnitas cuyo valor hay que encontrar. Por ejemplo:

5x + 7y = 12

es una ecuación que tiene dos incógnitas, x e y, en la que los números que las acompañan reciben el nombre de coeficientes. A su vez las incógnitas pueden estar elevadas a otros números, llamados exponentes, cuyo valor más alto determina lo que se denomina el grado de la ecuación. Así:

x2 + 2y3= 15

es una ecuación con dos incógnitas de grado tres, ya que éste es el exponente más alto. Si fuese igual a la unidad se le llama también “lineal”.

Una ecuación se da por resuelta cuando se han encontrado los valores de las incógnitas que cumplen la igualdad planteada. Por ejemplo decimos que:

5x + 4 = 14

tiene solución x = 2 porque cumple dicha igualdad.

Ecuaciones las hay de muchos tipos, algunas como las citadas afectan a su forma pero hay otras que se distinguen por la naturaleza de sus soluciones. En este último caso están las ecuaciones diofánticas que son aquellas cuyos coeficientes son números enteros y sus soluciones también. Por ejemplo, la ecuación:

7/2x + y = 6

no es una ecuación diofántica, ya que uno de sus coeficientes no es un número entero.

Otro ejemplo:

5x + 4 = 11

a pesar de que sus coeficientes son números enteros, tampoco es diofántica porque su solución x=7/5 no lo es. También se suele decir que se trata de una ecuación diofántica que carece de soluciones.

En general, las ecuaciones diofánticas pueden tener un número finito o infinito de soluciones, o carecer de las mismas. El interés que encierran estriba en que si hacen referencia a personas, por ejemplo número de asistentes a un partido de futbol, es evidente que solo tienen sentido las soluciones con números enteros. No es lógico dividir a una persona en partes. En el enunciado del problema planteado con los tres reyes, un mono y los plátanos sucede algo similar.

Por tanto, enseguida nos damos cuenta si para resolver un problema será necesario recurrir a una ecuación diofántica. El tipo más sencillo responde a la ecuación general:

Ax+By=C

Por ejemplo, si disponemos de 360 euros para comprar entradas de dos espectáculos distintos, que cuestan 12 y 30 euros cada uno, y nos preguntan cuantas podremos comprar de cada clase sin que sobre nada de dinero, nos encontramos ante una ecuación diofántica. Si llamamos x a las entradas de 12 euros e y a las de 30 euros, la ecuación resultante sería:

12x+30y=360

Una manera de resolverla es ir probando de forma manual hasta dar con dos números enteros que cumplan sus condiciones. Una tarea a veces bastante ardua. Lógicamente, existen métodos más rápidos y automáticos, de los que no hablaremos porque requieren conocimientos superiores, enfocados a planteamientos muchos más difíciles. El ejemplo de nuestro problema del “reparto de plátanos” se puede realizar por el método sencillo al estar limitada su respuesta.

Diofanto de Alejandría, al que las ecuaciones diofánticas deben su nombre, fue un matemático griego del que se conoce poco sobre su vida. Su obra más conocida, la “Aritmética”, es un compendio que reúne 130 problemas distribuidos en 13 libros, de los que únicamente se conservan 6. Está considerado por su originalidad y sus aportaciones el padre de los algebristas modernos. Como gran amante de los números, dicen que dejó el siguiente epitafio al morir:

“Dios le concedió ser niño la sexta parte de su vida, una duodécima parte de ella más tarde cubrió de vello sus mejillas; encendió en él la antorcha del matrimonio tras una séptima parte y cinco años después le concedió un hijo. Un hijo de nacimiento tardío, que el destino se llevó cuando alcanzó la edad de la mitad de la vida de su padre. Éste consoló su aflicción con la ciencia de los números durante los cuatro años siguientes tras los cuales su vida se extinguió.”

¿Cuántos años vivió este ilustre matemático?

Se puede comprobar que la solución a esta ecuación nos lleva a que Diofanto falleció a la edad de 84 años.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Un truco aritmético o como aprender jugando”

Analicemos lo que se ha hecho:

1º) Al número pensado se le ha añadido detrás el mismo número, lo que es equivalente a agregarle tres ceros y sumarle el propio número. En el ejemplo sería:
112112 = 112000 + 112
Por tanto, se ha aumentado 1000 veces y sumado una vez; o sea, se ha multiplicado por 1001.

2º) A continuación, el producto resultante se ha dividido por 7, por 11 y por 13; es decir, por el producto de 7*11*13, que es igual también a 1001.

En resumen, si al número pensado, primero lo multiplicamos por 1001 y luego lo dividimos también por 1001… ¡¡es lógico, pues, que hayamos obtenido el mismo número!!

Una respuesta a Las ecuaciones diofánticas, tres reyes, un mono y el reparto de plátanos

  1. Elba E. Cantero dice:

    Excelente! debiera implementarse en las escuelas
    Elba

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