Los 21 vasos y el ladrón descubierto

Otro de los muchos ejemplos de matemática recreativa que nos presenta “El hombre que calculaba”, magnífica obra que mezclando ficción e historia muestra las Matemáticas en sus conceptos más básicos.

En esta ocasión se hace referencia a los repartos proporcionales. Para su perfecta comprensión se expone un primer ejemplo resuelto y otro que se deja en el aire. Este último para estrujar un poco las “meninges”, pero no mucho porque es puro sentido común. Dice así:

Iba a proseguir el elocuente calculista con sus consideraciones sobre las formas geométricas de las semillas del “saxahul”, cuando vimos en la puerta de una tienda próxima a nuestro protector, el sheik Salerm Nasair, que nos llamaba a grandes voces.

– Me siento feliz de haberlo encontrado, calculista (exclamó el sheik al aproximarse); su presencia es muy oportuna. Estoy aquí en compañía de algunos amigos y me hallo azorado con dos problemas que sólo un gran matemático podría resolver.

Aseguró Beremís que emplearía todos sus recursos para hallar la solución de los problemas que interesaban al sheik, pues no quería desperdiciar una sola ocasión de servir a un hombre tan amable y generoso.

El sheik señaló a los tres árabes que le acompañaban y dijo:

– Estos tres hombres recibirán, como pago de un servicio hecho, una partida de vino compuesta de 21 vasos iguales, estando 7 llenos, 7 medio llenos y 7 vacíos. Quieren ahora dividir los 21 vasos de manera que cada uno reciba el mismo número de vasos y la misma cantidad de vino. ¿Cómo hacer el reparto? Ese es el primer problema.

Esta figura indica, claramente, la solución del problema de los 21 vasos. Los siete primeros rectángulos representan los vasos llenos; los 7 siguientes rectángulos los vasos medio llenos y los otros 7 vasos vacíos. Para que los tres mercaderes reciban el mismo número de vasos y cantidades iguales de vino, la división deberá efectuarse cómo indican las líneas punteadas del dibujo.

Pasados algunos minutos de silencio, Beremís respondió:

– La división que acabáis de proponer se puede hacer de varias maneras. Indicaré una de ellas.

El primer socio recibirá: 3 vasos llenos, 1 medio lleno y 3 vasos vacíos.
Al segundo le corresponderán: 2 vasos llenos, 3 medio llenos y 2 vasos vacíos.
Y al tercero: 2 vasos llenos, 3 medio llenos y 2 vasos vacíos.

Según ese reparto, cada socio recibirá 7 vasos y la misma cantidad de vino. Ya ve, sheik, que el problema no presenta dificultad alguna, y que si analizamos el enunciado no es difícil demostrar que él admite otra solución rigurosamente exacta. ¿Cuál es?

Ver solución en: “El carcelero que solo sabía contar hasta diez”.

Al poco se aproximó uno de los árabes a Beremís y le saludó respetuosamente hablando así:

– Es mucho más difícil el problema que me preocupa. Tengo continuas transacciones con los cristianos que negocian en vinos de Ispahán. Se vende ese vino en vasos pequeños y grandes. Según nuestra invariable combinación, un vaso grande lleno vale 6 vasos pequeños vacíos; dos vasos grandes vacíos valen uno pequeño lleno. Procuro ahora saber cuántos vasos pequeños vacíos puedo cambiar por la cantidad de vino contenida en dos vasos grandes.

Aquel embrollo de valores y relaciones no intimidaron al “Hombre que calculaba”. Habituado a enfrentarse a problemas difíciles y a trabajar con números enormes, Beremís no se confundía con el enunciado de cuestiones abstrusas y aparentemente sin sentido.

Ver solución en: “El carcelero que solo sabía contar hasta diez”.

A pesar de que el enunciado en ambos casos se parezca a un trabalenguas, como siempre  las soluciones son sencillas y de puro sentido común. Una vez más, Beremís asombró a los comerciantes de vinos. Ninguno suponía que su imaginación fuese capaz de realizar tal prodigio. Uno de los compañeros del sheik ofreció un vaso de vino a Beremís quien, como buen musulmán, agradeció el ofrecimiento pero no lo aceptó. “La bebida es un pecado, y perjudica grandemente la salud y la inteligencia”, dijo. Y, a fin de evitar que los mercaderes se sintiesen ofendidos con su rechazo, relató una aventura vivida por Al-Hossein, filósofo, matemático y médico, más conocido por Avicena, nacido en Chiraz, Persia, en el año 980 y muerto a traición en los alrededores de Hamadam en 1057. Era conocido por los árabes como “El príncipe de los médicos”. Una de sus obras de medicina,  fue adoptada por la Escuela de Montpellier en tiempos de Luis XIV. Al-Hossein fue el primero en proponer la prueba del 9 como verificación para las operaciones elementales. Así relató Beremis la aventura:

– Al-Hossein, médico y matemático famoso, al llegar a Ispahán después de una larga excursión encontró a un grupo de hombres que charlaban a la sombra de un gigantesco “betoum”. El sabio, que se hallaba en ese momento alegre y bien dispuesto, decidió enseñar alguna cosa útil e interesante a los desconocidos. Acercose a ellos, y, después de saludarlos con simpatía, dijo:

– Amigos míos, existe una ciencia notable y muy útil a los hombres. Con la ayuda de ella se descubren todos los secretos y se revela la verdad. Esa ciencia es la Matemática. Voy a demostraros, en pocas palabras, en que radica su belleza y su poder.

Figura trazada por Avicena, matemático y médico famoso, con la que pretendía demostrar cierta proposición de Euclides, y concluyó, según reza la leyenda, descubriendo el camello robado.

Y después de proferir estas palabras, que no fueron comprendidas por sus rudos oyentes, Al-Hossein tomó un pedazo de carbón y trazó en el tronco de un árbol dos rectas cruzadas. Pretendía el sabio demostrar, con auxilio de esa figura, una propiedad enunciada por Euclides, geómetra griego: “Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales”.

Después de trazar las rectas en posición conveniente, Al-Hossein marcó con cuidado los dos ángulos cuya igualdad pretendía demostrar con su admirable raciocinio.

No había terminado la figura geométrica, cuando uno de los dos camelleros se levantó de súbito y se arrojó trémulo a los pies del sabio, murmurando con voz ronca, que expresaba gran temor:

– ¡Fui yo, señor! ¡Fui yo! ¡Diré la verdad!

Realmente sorprendido con la inesperada actitud del beduino, Al-Hossein se dio cuenta de que había, en la confusión del camellero, un misterio que convenía conocer. Dominando, pues, la sorpresa que experimentara, dijo así:

– Nada debes temer, amigo mío. La verdad es siempre descubierta. Vamos, confiesa todo y serás perdonado.

Al oír estas palabras, el hombre confesó al sabio que había robado, días antes, el camello predilecto del visir.

Inútil es decir que Al-Hossein ignoraba aquel hurto audaz que preocupaba a todos y en torno del cual se habían hecho infructuosas pesquisas.

Descubierto, así, el autor del robo, el camello fue restituido pocas horas después a su poderoso dueño y el ladrón, amparado por el prestigio de Al-Hossein, se libró de una severa sentencia, siendo perdonado.

¿Cómo explicar los motivos que llevaran al criminal a revelar su secreto? Lo sucedido era, sin embargo, muy sencillo: la figura geométrica hecha por el matemático para explicar la proposición de Euclides, era exactamente igual a la “marca” que tenía el camello robado. El ladrón, al ver la figura, creyó que Al-Hossein conocía su secreto y, lleno de indecible espanto, no se sintió con ánimo de ocultar la verdad.

La fama de Al-Hossein, desde ese día, se volvió, bajo el cielo de Persia, cien veces mayor.

¡No era para menos! ¡Con una simple figura geométrica descubrió al más audaz ladrón, y encontró un camello que ya se daba por perdido!

¡¡Son tantas las veces que las apariencias engañan!!

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Las ecuaciones diofánticas, los tres reyes, un mono y el reparto de plátanos”

El enunciado lo podemos resumir del siguiente modo:
El primer rey le da un plátano al mono y divide el resto entre 3. Se queda con 1 parte y deja 2 para repartirlas al día siguiente. Sin embargo, poco después…
El segundo rey aparece y repite la misma operación. Divide el resto entre 3, se queda con 1 parte, deja 2 partes y le da el plátano sobrante al mono.
Lo mismo hace el tercer rey un poco más tarde con el resto y le da también un plátano sobrante al mono.
A la mañana siguiente… se despiertan los 3 reyes, hacen el reparto como habían quedado el día anterior, dividen el resto entre los 3 y le dan un plátano al mono.

Ahora vayamos al planteamiento matemático:
Si llamamos X al número total de plátanos, como el primer rey divide en tres partes el lote, se queda una que llamaremos A, deja el resto, 2A, y le da el plátano sobrante al mono, resulta:
A= (X – 1)/3, o lo que es lo mismo: X=3A+1
A continuación el 2º rey hace una operación similar, divide el resto, 2A, en tres partes, coge una que llamaremos B, deja el resto, 2B, y le da el plátano sobrante al mono. Por tanto:
B=(2A-1)/3, o lo que es lo mismo: A=(3B+1)/2
Por último el tercer rey realiza la misma operación que los dos reyes anteriores, divide el resto, 2B, en tres partes, coge una que llamaremos C, deja el resto, 2C, y le da el plátano sobrante al mono.
C=(2B-1)/3, o lo que es lo mismo: B=(3C+1)/2
Finalmente, a la mañana siguiente, se levantan los tres reyes a la vez, dividen el resto que se encuentran, 2C, en tres partes iguales, a cada una la llamaremos Y, y como sobra un plátano se lo dan también al mono.
2C=3Y+1, o sea: C=(3Y+1)/2

Si ahora hacemos todas las sustituciones necesarias para que nos quede una ecuación con dos incógnitas, X (nº total de plátanos) e Y (nº de plátanos de cada lote del último reparto) resultaría:
X=3A+1= 3(3B+1)/2+1= 3(3((3C+1)/2 +1)/2+1= 3(3((3((3Y+1)/2+1)/2 +1)/2+1
Es decir:
81Y + 65= 8X
que es la ecuación diofántica resultante.

Solo queda dar valores enteros a Y, de menor a mayor, apuntar los valores resultantes para X (nº total de plátanos) hasta que aparezca el primer número entero, que sería el mínimo requerido.
Podemos observar que esta condición se cumple para Y=7 que da un valor de X=79, numero de plátanos mínimo a repartir que cumplan la exigencia pedida.
Es evidente que con unos conocimientos informáticos mínimos la solución de esta ecuación es inmediata, pero en este caso lo que se trataba era de ser capaces de razonar y entender como se llega a la solución final mediante conocimientos matemáticos básicos.

Para ratificar la validez de la solución solo hay que hacer lo siguiente:

– Nº Total de plátanos= 79.
– Si quitamos uno del mono, el primer rey cogió 78/3=26 y quedaron 79– 1–26=52 plátanos.
– Si realizamos una operación similar con el segundo rey, éste tomó 51/3=17 y quedaron 52-1–17=34 plátanos.
– Y haciendo lo mismo con el tercer rey, éste se llevó 33:3=11 y quedaron 34–1–11=22 plátanos.
– Al final, por la mañana, dieron un plátano al mono, repartieron los 21 restantes y cada uno se quedó con 7 plátanos.

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