El carcelero que solo sabía contar hasta diez o la gran fuga: un problema didáctico

Después de la ardua, no muy fácil y me imagino que, a pesar del intento, poco comprensible explicación de la conjetura de Poincaré, que mejor que recurrir a un clásico del entretenimiento sacado del libro “En el Reino del Ingenio” de Ignatiev sobre lógica matemática, un problema sencillo donde solo impere la agudeza y el sentido común.

Se trata de un cuento sobre el príncipe Iván y Kaschéi “El Inmortal”, que solo sabía contar hasta diez, del que extraeremos solo aquellos fragmentos que nos lleven al problema matemático que queremos plantear:

Vivía en cierto reino el príncipe Iván. Tenía tres hermanas: las princesas María, Olga y Ana. Sus padres habían fallecido. Casó el príncipe Iván a sus hermanas con los zares de los reinos de cobre, plata y oro y se quedo solo. Un año entero vivió el príncipe sin sus hermanas y comenzó a echarlas de menos. Decidió, entonces, ir en busca de ellas para visitarlas.
Más adelante el cuento relata cómo el príncipe Iván se encontró con Elena la Hermosa, cómo se enamoraron y cómo la raptó Kaschéi el Inmortal decidiendo hacerla su mujer. Se negó Elena la Hermosa a ser mujer de Kaschéi e indignado éste la convirtió en un abedul blanco y fino.
Reunió el príncipe Iván a sus guerreros y se fue en busca de Elena la Hermosa. Mucho camino anduvo hasta que dio con una casucha donde vivía la bruja Yagá. Le contó el príncipe Iván a dónde y a qué se dirigía. La bruja Yagá hacía ya mucho tiempo que contendía con Kaschéi y decidió ayudar al príncipe:
“Para liberar a Elena de los encantos de Kaschéi deberás reunir a las puertas de su palacio a los zares de los reinos de cobre, de plata y de oro. Justamente a la media noche deberán ellos y también tú pronunciar juntos una palabra mágica. Entonces los encantos perderán su fuerza y Kaschéi se verá imposibilitado de actuar”.
Un cuervo negro escuchó esta conversación de la bruja con el príncipe Iván y se lo comunicó todo a Kaschéi.
Al despedirse del príncipe, la bruja Yagá le dio un anillo mágico.
“Este anillo te conducirá donde vive Kaschéi. Y si para algo te hace falta abrir o cerrar algún cerrojo pídeselo al anillo que lo haga. Lo cumplirá en un instante”.
Kaschéi el Inmortal acechó al príncipe Iván, le capturó y lo tiró, junto con sus guerreros, a un subterráneo profundo y oscuro.
“Jamás verás, Iván, a Elena la Hermosa”.

Más adelante el cuento describe el subterráneo donde transcurrirá la acción que nos plantea el problema:

“Era una cueva cuadrada que tenía 8 celdas que se comunicaban entre sí situadas a lo largo de las paredes (representadas por los cuadrados pequeños en la figura). Todo el subterráneo, que tenía una sola salida, se cerraba fuertemente con siete candados.

En total eran 24 guerreros, junto con el príncipe Iván, y Kaschéi los distribuyó en las ocho celdas por igual.

Cada tarde venía Kaschéi al subterráneo a burlarse del príncipe a la vez que contaba sus prisioneros. Como solo sabía contar hasta diez, contaba la cantidad de cautivos que había en tres celdas a lo largo de cada pared y como eran 9 se quedaba tranquilo porque en total para él sumaban 24.

Las dificultades no abatieron al príncipe Iván y con ayuda del anillo mágico un día abrió los siete candados y envió a tres de sus guerreros con mensajes para los zares de los reinos de cobre, plata y oro. Para que Kaschéi no sospechara nada, el príncipe Iván distribuyó a los guerreros restantes por las celdas de tal forma que a lo largo de cada pared del subterráneo hubiese siempre 9 personas. Como siempre, por la tarde vino Kaschéi, refunfuñó al ver que los guerreros no estaban sentados en sus sitios, los contó a lo largo da cada pared y no sospechó nada porque siempre sumaban 9.

Al cabo de un tiempo llegaron los mensajeros junto con los zares de los reinos de cobre, plata y oro, a los que les habían relatado todo lo que había pasado. Regresaron al subterráneo y a las celdas del palacio de Kaschéi, precisamente en el momento en que Kaschéi había decidido revisar de nuevo el subterráneo. En ese momento, el príncipe Iván distribuyó a todos sus guerreros y a los tres zares llegados de tal forma que de nuevo en las celdas, a lo largo de cada pared, estuviesen sentadas siempre 9 personas. Y otra vez consiguió engañar a Kaschéi.

Después, el cuento narra como, justamente a la medianoche, los tres zares, junto con el príncipe Iván, se acercaron a las puertas del palacio de Kaschéi y pronunciaron la palabra mágica, cómo a continuación salió Elena la Hermosa del encanto, cómo consiguieron huir todos del reino de Kaschéi y, por fin, como se casaron el príncipe Iván y Elena la Hermosa.

El cuento termina así, pero… ¿cómo distribuyó a los cautivos el príncipe Iván, tanto en el primero como en el segundo caso?

Ver solución en: “El pensamiento lateral y el problema de los tres interruptores”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el artículo:“Los 21 vasos”

1) Reparto de los 21 vasos.
Una segunda solución es:
– Socio 1: 1 vaso medio lleno y 3 vasos vacíos,
– Socio 2: 3 vasos llenos, 1 vaso medio lleno y 3 vasos vacíos y
– Socio 3: 1 vaso lleno, 5 medio llenos y 1 vaso vacío.

2) Segundo problema planteado.
En este caso anotamos la solución “literal” expresada por Beremis para deshacer lo que parece un “trabalenguas” con otro similar:

Amigo mío, respondió, dirigiéndose al vendedor de vinos. Tengo gran placer en aclarar esta cuestión que me parece tan sencilla como la primera. Por lo que he oído, “2 vasos grandes llenos valen 12 pequeños vacíos”. Por otra parte, si 2 grandes vacíos valen 1 pequeño lleno, y 3 pequeños vacíos valen también 1 pequeño lleno, está claro que 2 grandes vacíos valdrán 3 pequeños vacíos.

Es preciso ahora, para mayor claridad, recordar de memoria los dos resultados ya obtenidos:
– 2 vasos grandes llenos valen 12 pequeños vacíos.
– 2 vasos grandes vacíos valen 3 pequeños vacíos.

De aquí sacamos la conclusión que la diferencia de los valores entre 2 grandes llenos y 2 grandes vacíos es igual a 9 pequeños vacíos. Esa diferencia se debe precisamente a la cantidad de vino contenida en dos vasos grandes.
Conclusión: La cantidad de vino contenida en dos vasos grandes puede ser permutada por 9 vasos pequeños vacíos.
La solución de Beremís asombró a los comerciantes en vinos. Ninguno de ellos suponía que su imaginación fuese capaz de realizar ese prodigio.

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