Coincidencias sorprendentes de los números Fibonacci

En nuestras actividades cotidianas a veces nos encontramos con situaciones que ni por asomo pensamos puedan estar relacionadas con las Matemáticas. Es el caso de la famosa sucesión o números Fibonacci, fuente de muchos teoremas y aplicaciones importantes. Para su comprensión no se necesitan grandes conocimientos, tan solo un poco de Aritmética Elemental.

Fibonacci 01. WikipediaLeonardo de Pisa (1170-1250), más conocido por Fibonacci, fue uno de los matemáticos más notables de la Edad Media. Un apodo que le venía de su padre al que llamaban “Bonacci” (“simple o bien intencionado”), de ahí el suyo de Fibonacci (filius “Bonacci” o hijo de “Bonacci”). Siendo adolescente acompaña a su padre enviado al puerto de Bugía (Argelia) como representante de los comerciantes de la República de Pisa, una gran potencia comercial a finales del siglo XII con delegaciones en todo el norte de África. Aprovechando sus viajes por el Mediterráneo (Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza), Fibonacci adquiere una gran formación discutiendo con los matemáticos más notables de su época, dándose cuenta que las enseñanzas de sus maestros árabes eran muy superiores a las de los países occidentales.

Con 30 años Leonardo regresa a Pisa, publicando su gran obra “Liber Abaci” (“Libro del Ábaco”) en el año 1202, una verdadera revolución matemática. Pronto se hace famoso por toda Europa al difundir el actual sistema numérico (indo-arábigo) que utiliza la base 10 o decimal, mucho mejor que cualquiera de los existentes, y más en Italia donde aún funcionaban con los numerales romanos y el ábaco. Una de las ventajas del nuevo sistema era que se podían escribir las operaciones en papel, mientras que con números romanos no había forma de hacerlo: solo se anotaba el resultado final y para los cálculos había que emplear el ábaco. Al principio, la mayoría, en especial los mercaderes, no estaba muy entusiasmada, pero poco a poco su practicidad quedó fuera de toda duda convirtiéndose en instrumento indispensable para el desarrollo del comercio.

Fibonacci se dedica entonces a escribir libros y textos sobre Matemáticas, la gran pasión de su vida, cuando aún no se había “inventado” la imprenta y todo se hacía a mano con un número de copias en circulación mínimo. Su fama traspasa fronteras, siendo reconocido por muchas de las cortes reinantes y los grandes comerciantes que a menudo le piden asesoría y consejo. Aunque hoy no lo parezca, parte de sus trabajos eran difíciles de comprender incluso para algunos de sus expertos coetáneos. En la actualidad todavía se conservan algunas de sus publicaciones más conocidas como “Liber Abaci” (1202), “Practica geometriae” (1220) o “Liber quadratorum” (1227).

Liber Abacci 01Uno de los pocos originales del “Liber Abaci” que aún se conservan

Durante bastante tiempo la sucesión o números de Fibonacci no fue más que el resultado de uno de los muchos problemas planteados en el libro “Liber Abaci”. Tanto es así que el propio Fibonacci nunca llegó a conocer su trascendencia, ni que su nombre quedaría unido a su solución. Traducido al lenguaje actual el enunciado del problema del que emanaría más tarde decía:

“Supongamos que tenemos una pareja de conejos recién nacidos, macho y hembra, juntos en un sitio cerrado, y que tardan un mes en alcanzar la edad fértil. Alcanzada ésta engendrarán una pareja de conejos cada mes, que a su vez, tras ser fértiles, engendrarán cada mes otras parejas. Y así sucesivamente…”

O dicho en lenguaje más entendible: a partir del segundo mes de vida, cada pareja de conejos dará origen cada mes a una nueva pareja.

La pregunta que planteó Fibonacci fue: ¿Cuántos parejas de conejos habrá en un momento determinado?

En la figura de abajo, se muestra a la izquierda la respuestay a la derecha una gráfica que nos ayudará a comprender la evolución de una forma sencilla.

Mes 1: A principios nace una pareja de conejos (a), macho y hembra, que tardarán un mes en ser fértiles (nº de parejas: 1= a)
Mes 2: A su inicio la hembra alcanza la fertilidad y se cruza con su pareja. A final de mes el número de parejas seguirá siendo el mismo (nº de parejas: 1= a)
Mes 3: La pareja (a) da a luz a la pareja (b) y se vuelve cruzar (nº de parejas: 2= a, b)
Mes 4: En este mes la pareja (a) vuelve a tener otra pareja (c), pero la (b) aún no, pues la hembra aún no es fértil (lo logra un mes después de nacida). (nº de parejas: 3= a, b, c)
Mes 5: Durante el quinto mes las parejas (a) y (b) dan a luz a las parejas (d) y (e), al tiempo que la pareja (c) tiene su primer parto (f).  (nº de parejas: 5= a, b, c, d, e, f)
Mes 6: Establecida la dinámica, en este mes (a), (b) y (c) darían a luz a las parejas (f), (g) y (h), mientras que las parejas (d) y (e) pasan al estado fértil.  (nº de parejas: 5= a, b, c, d, e, f, g, h).

Problema conejos 02. FibonacciSolución del problema planteado por Fibonacci y que dio lugar a su sucesión

Siguiendo el método citado, al final obtendríamos como respuesta una sucesión numérica cuyos primeros términos responderían a la siguiente secuencia mensual:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,…
más conocida como sucesión de Fibonacci. Sabido es que una sucesión es una secuencia de números con una regla establecida que permite calcular cualquier término de la misma. En este caso, se puede observar que su característica común es: cada término es el resultado de la suma de los dos anteriores. Sin embargo, curiosamente ya había sido aplicada con anterioridad al descubrimiento de Fibonacci. Así lo demuestra George Eckel Duckworth, profesor de Universidad de Princeton, en su libro “Structural Patterns and Proportions in Vergil’s Aeneid (University of Michigan Press)” (1962), donde afirma que Virgilio y otros poetas de su época la utilizaron en sus composiciones líricas.

Leonardo de Pisa, cuyas aportaciones a las Matemáticas fueron tan importantes, nunca llegó a ser conocedor de la trascendencia de su “descubrimiento”. Fue Edouard Lucas (1841-1892), un matemático francés conocido sobre todo por sus trabajos sobre la sucesión de Fibonacci y por el test de primalidad que lleva su nombre, inventor de juegos recreativos tan conocidos como “Las Torres de Hanoi”, quien muy interesado en la Teoría de Números asoció el nombre de Fibonacci a lo que en principio era tan solo la respuesta a un problema del libro “Liber Abaci” de Leonardo. A partir de ahí se puede decir que Fibonacci entró en la historia, hasta el punto de conocerle más por su sencillo problema que por la magnitud de su obra.

El ocho 01La sucesión de Fibonacci ha sido fuente inagotable de teoremas y problemas abiertos (muchos tan solo conjeturas que no se han llegado a demostrar). Hay unos párrafos de la espléndida novela “El ocho” de Katherine Neville que de una forma superficial definen algunos de los más conocidos. Ocurre en el momento que la protagonista, una experta en computadoras, recién aterrizada sufre un registro en la oficina del Jefe de Seguridad del aeropuerto de Argel, estableciéndose el siguiente diálogo:

Sharrif iba sacando los libros de mi bolsa ordenándolos en una pila sobre el escritorio mientras leía cuidadosamente los títulos.
– Juegos matemáticos de ajedrez… ¡ah! ¡Los números de Fibonacci! –exclamó, con esa sonrisa que me hacía sentir que tenía algo contra mí, mientras señalaba el aburrido libro de Nim.

– ¿De modo que le interesan las matemáticas? –preguntó, mirándome con intención.
– No mucho –dije, poniéndome en pie y tratando de volver a guardar mis pertenencias en la bolsa.
– ¿Qué sabe exactamente sobre los números de Fibonacci?
– Se usan para proyecciones de mercado –murmuré.

– ¿Entonces no conoce al autor? Me refiero a Leonardo Fibonacci. Un italiano nacido en Pisa en el siglo XII, pero educado aquí, en Argel. Era un brillante conocedor de las matemáticas de aquel moro famoso, Al-Kwarizmi, que ha dado su nombre a la palabra “algoritmo”. Fibonacci introdujo en Europa la numeración arábiga, que reemplazó a los viejos números romanos.

… Maldición. Debí haber comprendido que Nim no iba a darme un libro sólo para que me entretuviera, aún cuando lo hubiera escrito él mismo.
… Permanecí leyéndolo casi hasta el amanecer y mi decisión había resultado productiva, aunque no sabía con certeza cómo. Al parecer, los números de Fibonacci se usan para algo más que las proyecciones del mercado de valores. Funcionan así:

“Leonardo Fibonacci había decidido tomar los números de uno en uno; sumando a cada número el precedente produjo una serie numérica que poseía propiedades muy interesantes. Es decir, uno más cero da uno; uno más uno, dos; dos más uno, tres; tres más dos, cinco; cinco más tres, ocho… y así sucesivamente.

Sin título-1Fibonacci, que había estudiado con los árabes, que creían que todos los números tenían propiedades mágicas, era una especie de místico. Descubrió que la fórmula que describía la relación entre cada uno de sus números – que era la mitad de la raíz cuadrada de cinco menos uno: 1/2 (√5-1) – describía también la estructura de todos los elementos naturales que formaban una espiral.

Según el libro de Nim, los botánicos descubrieron pronto que todas las plantas cuyos pétalos o tallos eran en espiral se ajustaban a los números de Fibonacci. Los biólogos sabían que la concha del nautilus y todas las formas en espiral de la vida marina seguían ese modelo. Los astrónomos afirmaban que las relaciones con los planetas en el sistema solar, incluida la forma de la vía láctea, podían descubrirse con los números de Fibonacci.

Esa pequeña fórmula no había sido inventada por Fibonacci, sino que un tipo llamado Pitágoras la había descubierto dos mil años antes. Los griegos la llamaban áurea sectio: la sección áurea. Dicho en palabras sencillas, la sección áurea describe cualquier punto de una línea en que la proporción entre el segmento menor y el mayor es igual a la proporción entre el segmento mayor y toda la línea. Las civilizaciones antiguas utilizaban esta proporción en arquitectura, pintura y música. Platón y Aristóteles consideraban que era la relación perfecta para determinar si algo es estéticamente bello. Sin embargo, para Pitágoras significaba mucho más.

Pitágoras era un tipo cuya devoción por el misticismo hacía aparecer como un aficionado hasta al propio Fibonacci. Los griegos lo llamaban Pitágoras de Samos porque había llegado a Crotona desde la isla de Samos huyendo de conflictos políticos, pero había nacido en Tiro, una ciudad de la antigua Fenicia – el país que ahora llamamos Líbano -, y había viajado mucho. Vivió veintiún años en Egipto y otros doce en Mesopotamia y llegó a Crotona con cincuenta años más que cumplidos. Allí fundó una sociedad mística, disfrazada apenas de escuela, donde sus estudiantes aprendían los secretos que él había espigado durante sus viajes. Estos secretos se centraban en dos disciplinas: las matemáticas y la música.

No hay duda que la sucesión de Fibonacci ha tenido intrigados a los matemáticos durante siglos; no en vano se ha presentado en los sitios más diversos. Aparte de las curiosas coincidencias citadas en la novela “El ocho” citaremos algunas otras:

Girasoles 01. Fibonacci La sucesión de Fibonacci aparece en infinidad de objetos de la naturaleza, y en el reino vegetal de forma muy llamativa. Se puede ver en las semillas de ciertas variedades de girasol que forman dos haces de espirales logarítmicas, una en sentido horario y otra en el contrario, y además son dos términos consecutivos de los números Fibonacci (55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144). En el caso de las margaritas las semillas se presentan en forma de 21 y 34 espirales.

Otro ejemplo singular brindado también por la naturaleza es la procreación de las abejas. Como es sabido en un panal existe una hembra especial: la reina, la única que pone huevos. Luego están las obreras, hembras que no ponen huevos y, por último, los zánganos, machos que no tienen padre (nacen de los huevos de la reina que no están fertilizados). Es decir, de los huevos que pone la abeja reina en una colmena, si están fecundados nacen abejas obreras o reinas, mientras que de los no fecundados nacen zánganos. Por tanto, las reinas y obreras tienen dos progenitores y los zánganos sólo uno. Y en consecuencia se puede comprobar que el árbol genealógico de los machos de la colmena (zánganos) sigue estrictamente la distribución de Fibonacci. Veamos la explicación: los machos no tienen padre (1), tienen una madre – la reina (1), dos abuelos – los padres de la reina (2), tres bisabuelos – el padre de la reina no tuvo padre (3), cinco tatarabuelos (5), ocho tata tatarabuelos (8),…

Sin abandonar el panal de abejas podemos encontrar un caso similar en las diferentes trayectorias seguidas por una abeja para recorrer las celdas hexagonales del panal. Supondremos que se dirige siempre a una celda contigua y a la derecha de la que ocupa. Poco cuesta probar que hay sólo una (1) ruta hasta la primera casilla, dos (2) hasta la segunda, tres (3) hasta la tercera, cinco (5) itinerarios que conduzcan a la cuarta, ocho (8) a la quinta y así sucesivamente.

Concha de Nautilus 01. Wikipedia. Número áureoA continuación, incidiremos un poco más en una de las propiedades matemáticas más interesantes de los números Fibonacci, ya citada anteriormente. Apuntada por los renacentistas, y más tarde por el conocido astrónomo Kepler, dice lo siguiente: si vamos dividiendo entre si los números de Fibonacci consecutivos en sentido ascendente, su cociente se acerca al valor 1.618033 (1/2 (√5-1)). Veámoslo: 1/1 = 1, 2/1=1, 3/2=1,5, 5/3=1,66, 8/5=1,60, 13/8=1,625, 21/13=1,6153,… Representado por la letra griega φ (fi) en honor a Fibonacci se trata de un número irracional descubierto ya en la antigüedad, no como una “unidad” sino como una relación o proporción encontrada tanto en ciertas figuras geométricas como en la naturaleza: caracolas, nervios de las hojas de algunos árboles, grosor de las ramas,… A los objetos que siguen esta constante denominada número de oro, número áureo o divina proporción se les han atribuido propiedades estéticas especiales y en algunos casos una importancia mística.

Leonardo de Pisa, que con mucho humor, o quizás no, se hacía llamar a sí mismo “Bigollo”, que quiere decir “bueno para nada”, y así le decían a menudo sus amigos y conocidos, ha dejado una estela inconfundible. No solo en el campo de la Matemática sino en muchos otros relacionados con la Naturaleza. En el vídeo de abajo se puede ver una síntesis de algunas de las propiedades descritas en este post que forman parte de las sorprendentes coincidencias de los números Fibonacci.

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