Los cuatro cuatros y el turbante azul

Más que un problema, que lo es, los cuatro cuatros es casi un juego matemático para pasar un rato entretenido. Sobre todo para quienes se sientan atraídos por las situaciones curiosas que envuelven algunos números. Este es el caso del cuatro, y más en concreto de cuatro cuatros, ni uno más ni uno menos.

Se trata de un problema recogido en uno de los pasajes del libro “El hombre que calculaba”, y que tiene su origen en una conversación entre Beremis, el gran calculista, y su acompañante. Al encontrarse ambos frente a una tienda en la que se vende todo a cuatro dinares, algo le hace recordar a Beremis que se puede calcular cualquier número usando tan sólo cuatro cuatros. A continuación mostramos un extracto de la conversación:

Cuatro cuatros 01Al ver a Beremís interesado en adquirir el turbante azul, su acompañante le objetó:
– Juzgo una locura el comprar ese lujo. Tenemos poco dinero y no hemos pagado aún el hospedaje.
– No es el turbante lo que me interesa, retrucó Beremís; observo que la tienda de este mercader se llama “Los cuatro cuatros”. Hay en ello una gran coincidencia, digna de mi atención.
– ¿Coincidencia? ¿Por qué?
– En este momento, “bagdalí”, replicó Beremís, la leyenda que figura en ese letrero me recuerda una de las maravillas del cálculo. Podemos formar un número cualquiera empleando solamente cuatro cuatros, ligados por signos matemáticos.
Y antes de que le interrogase sobre aquel enigma, Beremís explicó, dibujando en la fina arena que cubría el piso:
– Quiero formar el número cero. Nada hay más simple. Basta escribir:

Sin título-5Están así los cuatro cuatros formando una expresión igual a cero.
– Pasamos ahora al número 1. Esta es la forma más cómoda:

Los cuatro cuatros 1– ¿Quieres ver ahora el número 2? Fácilmente se usan los cuatro cuatros escribiendo:
Los cuatro cuatros 2Y así siguió Beremis escribiendo las expresiones aritméticas formadas por los cuatro cuatros para obtener los números del 0 al 10.

Ver solución en “Las Torres de Hanoi, una leyenda y un juego”.

Notas.-
Para un mismo número en algún caso existe más de una solución.
Además de dar respuesta al problema concreto (diez primeros números) ampliaremos la solución a números superiores. Incluso aportaremos una alternativa de cálculo sorprendente.

El problema de los cuatro cuatros se complica bastante, por que no decirlo, a medida que se van superando “escollos”, en especial a partir del número 30. De ahí que como entretenimiento sea suficiente con “practicar” con los diez primeros números donde tan solo se necesita utilizar las cuatro reglas (suma, resta, multiplicación y división). Para aquellos interesados en seguir “avanzando” y comprobar que se puede hallar cualquier número con tan solo cuatro cuatros, decir que las reglas permitidas, además de las citadas, son el punto decimal (.4, si queremos poner cero coma cuatro), potencias (4^4, gastando así dos cuatros), raíces cuadradas, factoriales y números periódicos. También se podrá usar el paréntesis.

Sin título-4La conversación con Beremis todavía continuó durante un tiempo con otro ejemplo “singular”:

Al acabar Beremis, el jorobado, dueño de la tienda, que estuviera oyendo la explicación del calculista en actitud de respetuoso silencio e interés, observó:
– Por lo que acabo de oír, el señor es hábil para sacar cuentas y hacer cálculos. Le regalaré este bello turbante, como presente, si se sirve explicarme cierto misterio que encontré en una suma, y que me tortura desde hace dos años.
Y el mercader narró lo siguiente:
– Presté, cierta vez, la cantidad de 100 dracmas: 50 a un sheik y los otros 50 a un judío de El Cairo. El sheik pagó su deuda en cuatro cuotas del modo siguiente:


Sin título-1

– Fíjese, mi amigo, continuó el mercader, en que tanto la suma de las cuotas pagadas como la de los saldos deudores es igual a 50.
– El judío sin embargo pagó las 50 dracmas en cuatro cuotas según se indica:


Sin título-2
En este caso la primera suma es 50 (como en el caso anterior), mientras que la segunda da un total de 51.
No sé explicarme esa diferencia de 1 que se observa en la segunda parte del pago. Se bien que no salí perjudicado (pues recibí el total de la deuda), mas ¿como justificar el hecho de ser la segunda suma igual a 51 y no a 50?
– Amigo mío –aclaró Beremís-, esto se explica con pocas palabras. En las cuentas de pago, los saldos deudores nada tienen que ver con el total de la deuda. Admitamos que una deuda de 50 fuese pagada en tres cuotas: la primera de 10, la segunda de 5 y la tercera de 35. Efectuemos las sumas:

Sin título-5
En este ejemplo, la primera suma es 50, mientras que la de los saldos es 75; podía también haber resultado igual a 80, 99, 100, 260, 8000 u otro número cualquiera. Puede por casualidad dar 50 (como en el primer caso), o 51 (como en el caso del judío).
Quedó conforme el mercader al haber entendido el asunto, cumpliendo su promesa de ofrecer como presente, al calculista, el turbante azul que valía 4 dracmas.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “La piedra de afilar y los dos sirios honestos”

El mejor método para resolver este problema se basa en la conocida propiedad: “el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su diámetro”.

Sin título-1Si ahora inscribimos el cuadrado ABCD en el círculo I que representa el tamaño original de la piedra (ver figura), el círculo E inscrito a su vez dentro de ese cuadrado tendrá por tanto una superficie igual a la mitad del I. Su demostración es muy sencilla:

Llamando d1 al diámetro inicial de la piedra, éste será también diagonal del cuadrado ABCD, cuyo lado será a su vez el diámetro d2 del círculo E inscrito en él.

Recordando entonces a Pitágoras se podrá establecer que d1= √2 d2, y las áreas de los dos círculos, que son proporcionales al cuadrado de sus diámetros como se ha dicho, serán por tanto una el doble de la otra. Como el diámetro inicial de la piedra era de 22 pulgadas, sería ya fácil calcular cual sería su diámetro cuando se encontrase a la mitad de su vida útil (22/√2).

Ahora bien, esta solución que en una transacción “normal” se hubiese considerado más o menos “correcta”, en el caso de nuestros protagonistas, honestos en grado “máximo”, no se puede considerar así, al no haber tenido en cuenta la superficie no existente desde el principio correspondiente al orificio F (3 pulgadas 1/7= 22/7) situado en su centro, y por el que pasa la manija del mecanismo tal y como muestra el dibujo.

SOLUCIÓN. La piedra de afilarSi tenemos en cuenta esta “nueva” realidad, no nos quedará más remedio que realizar una operación similar a la anterior, que nos llevaría a que el círculo cuya superficie fuese la mitad del F tendría un diámetro de √ 2 22/7. Y por tanto al círculo E (supuesto en un principio, mitad de la superficie inicial de la piedra), se le debería añadir la mitad del círculo F (orificio de la manija) para que la solución fuese correcta, pues en caso contrario el sirio mayor (el primero) la utilizaría algo más de la mitad de su superficie “real o útil”.

El círculo equivalente a esa mitad “real” sería el representado por la línea de puntos en la figura y el cuadrado de su diámetro (por la propiedad antes citada) igual a la suma de los cuadrados de los diámetros equivalentes ya calculados. O lo que es lo mismo a la suma de 242 y 242/49 (12100/49), cuya raíz cuadrada 110/7 (o 15 5/7) sería el diámetro en pulgadas del círculo punteado y la respuesta correcta al problema.

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