Las Torres de Hanoi, una leyenda y un juego

Volvemos a las Matemáticas Recreativas. Ahí se encuadran los juegos y puzzles que necesitan de algún cálculo matemático y donde un mismo juego puede ser sencillo o complicado en función del nivel de dificultad. Normalmente uno compite consigo mismo. “Las Torres de Hanoi”, un “clásico” de los puzzles, es ante todo un juego lógico y de agilidad mental.

Sin título-3Supongamos que tenemos tres varillas verticales sujetas en un soporte. En una de ellas se encuentran insertados un número arbitrario de discos de madera, todos de distinto diámetro, de mayor a menor tamaño. Las otras dos varillas están vacías en su posición inicial.

El juego consiste en pasar todos los discos de la varilla ocupada a una de las otras, también de mayor a menor tamaño, calculando el número de movimientos necesario.

Será preciso seguir tres reglas:
Sólo se puede mover un disco cada vez.
• Un disco podrá descansar sobre otro de mayor diámetro, pero no a la inversa.
• Solo se podrá mover el disco que se encuentra en la parte superior de cada varilla.
• Las tres varillas se podrán utilizar indistintamente.

Conforme el número de discos aumente, también lo hará el número de movimientos necesarios, y por tanto la dificultad del problema. Aunque el planteamiento inicial realizado por el matemático Edouard Lucas (su creador) era para 8 discos, creemos que para entender la dinámica es más que suficiente con buscar la solución para el caso de 3 discos (fácil) y 4 discos (algo más complejo).

Ver solución en “El puente y el camino más corto”.

Edouard Lucas, reconocido matemático por sus trabajos sobre la serie de Fibonacci o el test de primalidad que lleva su nombre, publicó el juego de “La Torre de Hanoi” (“La Tour de Hanoi”- en singular) en 1883 bajo el pseudónimo de Profesor N. Claus de Siam, mandarín del colegio Li-Sou-Stian (el propio Lucas impartía clases en un instituto). Al año siguiente, el escritor francés Henri de Parville, articulista y divulgador científico, lo presentó en la revista La Nature acompañado de unas ilustraciones (3) donde se veía una mesa rectangular de madera con tres varillas verticales (ver figura), en una de las cuales había ocho discos insertados de mayor a menor diámetro, de abajo a arriba (posición inicial del juego).

Sin título-2Se cree que el nombre de Hanoi se debe a que en esa época, finales del XIX, Francia estaba formando la llamada Indonesia Francesa con sus guerras coloniales, que incluía a las actuales Camboya, Laos y Vietnam. Es muy posible que la prensa informase periódicamente sobre las batallas que se estaban produciendo, ocupando como es lógico Hanoi, capital de la región del norte de Vietnam, Tonkin, un lugar preferente. Precisamente en la portada de la publicación original de Edouard Lucas se podía leer: “Juego traído de Tonkin” y “Verdadero rompecabezas annamita”. Annam, región central de Vietnam, era también el nombre con el que los chinos llamaban al país antes de la dominación por los franceses, que lo utilizaron para referirse tanto a la región central como a todo Vietnam. De ahí que en la Francia de entonces, annamita fuese también sinónimo de vietnamita.

En las instrucciones que acompañaban al juego original, Edouard Lucas incluía una breve referencia a una leyenda relacionada con los brahmanes de Benarés (India) y sus templos, ciudad a la que el gran escritor indio Rabindranath Tagore hace continuas referencias en su obra “Gora” y que está considerada la ciudad más antigua del mundo. Pero fue un año después, en 1884, cuando Henri de Parville “desarrolló” la leyenda por completo dándole una forma mucho más poética en un artículo publicado en La Nature:
“En el gran templo de Benarés, debajo de la cúpula que marca el centro del mundo, yace una base de bronce, en donde se encuentran acomodadas tres agujas de diamante, cada una del grueso del cuerpo de una abeja y de una altura de 50 cm aproximadamente. En una de estas agujas, Dios, en el momento de la Creación, colocó sesenta y cuatro discos de oro, el mayor sobre la base de bronce y el resto de menor tamaño conforme se va ascendiendo. Día y noche, incesantemente, los sacerdotes del templo se turnan en el trabajo de mover los discos de una aguja a otra de acuerdo con las leyes impuestas e inmutables de Brahma, que requieren que siempre haya algún sacerdote trabajando, que no muevan más de un disco a la vez y que deben colocar cada disco en alguna de las agujas de modo que no cubra a un disco de radio menor. Cuando los sesenta y cuatro discos hayan sido transferidos de la aguja en la que Dios los colocó en el momento de la Creación a otra aguja, el templo y los brahmanes se convertirán en polvo y, junto con ellos, el mundo desaparecerá”. De ahí que a “Las Torres de Hanoi” también se le conozca como “Las torres de Brahma” o “El problema del fin del mundo”.

Benares 01Ciudad de Benares (India), hoy Varanasi, donde la leyenda de “La Torre de Hanoi” sitúa el gran templo. En la foto se puede ver a los peregrinos en los ghats (escaleras de piedra que descienden hasta el Ganges) realizando sus baños purificadores en el río, a la vez que rinden tributo al dios del Sol Surya.

La leyenda antes descrita invita a realizar, si fuera cierta, una pregunta: ¿cuándo sería el fin del mundo? Para los que sientan curiosidad por la respuesta, decir que se necesitarían 264-1 movimientos. O lo que es lo mismo: si los monjes hicieran un movimiento por segundo, sin equivocarse, los 64 discos estarían en otra varilla distinta en algo menos de 585 mil millones de años.

Para finalizar, una curiosidad más: aún se ignora por que el juego pasó a llamarse “Las Torres de Hanoi” (en plural). Se piensa que pudo haber sido por una deformación oral motivada por transcurrir desde una torre inicial cuyos discos se distribuyen por dos y hasta por tres torres distintas varias veces. No obstante, la idea para Edouard Lucas estaba clara (y así reza en el título original): tan sólo hay una torre, la formada por los discos; bien sea la del principio o la del final del juego, que como es lógico son distintas.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el artículo:
“Los cuatro cuatros y el turbante azul”
, un interesante juego matemático que se complica bastante a medida que avanzamos. De ahí que lo hayamos dejado en tan solo los diez primeros números.

RSin título-1ecordemos que para obtener cualquier número con tan solo cuatro cuatros están permitidas, además de las cuatro reglas (suma, resta, multiplicación, división), la concatenación (usar el 44 es válido y habríamos utilizado dos cuatros), el punto decimal (se puede escribir .4, si queremos poner cero coma cuatro), potencias (está permitido 44, y lo escribiremos como 4^4, dos cuatros), raíces cuadradas (para poner raíz cuadrada de 4 escribiremos √4), factoriales y números periódicos. También se puede usar el paréntesis cuando se crea conveniente. En nuestro ejemplo (números del 1 al 10) se puede ver que tan solo se necesitan las cuatro reglas. No obstante, en la solución adjunta hemos incluido hasta el número el 30, por si alguien siente curiosidad en seguir practicando y comprobar como la respuesta se va complicando.

Y si todavía quedan interesados en seguir adelante, a continuación se indica una fórmula (http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/cuatro-cuatros.htm), que por lo que parece atiende a la solicitud de obtener cualquier número natural con tan solo cuatro cuatros.

Fórmula solucion cuatro cuatros 01donde la raíz cuadrada punteada no es fija sino que depende de N (número a obtener), siendo de hecho =N+2.
Así por ejemplo para N=3 (número 3), habría que hacer N+2= 5 raíces sucesivas, y por tanto cinco radicaciones seguidas de 4*4.

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