La mesa de billar, la geometría y Pitágoras

Siguiendo la línea marcada en “El puente y el camino más corto”, a continuación planteamos un problema que solo requiere nociones simples de geometría: en este caso, con recordar a Pitágoras, el triángulo rectángulo y la relación entre sus catetos es suficiente. No necesita ningún cálculo complicado; con aplicar alguna de las propiedades del famoso teorema y una pequeña suma el problema quedará resuelto. Aconsejamos este camino como método de entretenimiento; de no conseguirlo, cualquier otro será válido.

Mesa de billar 01“En una mesa de billar de 1,60 m. de ancho se coloca una bola a 60 cm. de cada uno de los bordes, tal y como muestra la figura. La bola es lanzada sin efecto con un ángulo de 45º. Después de haber tocado 5 bandas, como es lógico, vuelve a su punto de partida. ¿Cuál es la longitud o largo del billar?”

Como una pequeña ayuda, decir que en el juego del billar cuando se lanza “sin efecto” una bola contra una banda, el ángulo de incidencia o de entrada es igual al de reflexión o salida. Una propiedad que tienen los cuerpos elásticos (la bola de billar lo es) cuando chocan oblicuamente a un plano (las bandas de la mesa lo son).Sin título-3

Ver solución en “Las tres pastillas, un problema para pensar de forma lateral”.

========================================================

A continuación mostramos la solución al problema planteado en el artículo:
“El puente y el camino más corto”.

Se trata de calcular un punto tal que la distancia APB sea mínima.

Sin título-12

En primer lugar trazaremos el punto D simétrico de A con respecto a la recta FG (lo mismo podríamos haber hecho con el B y el C para la demostración). Si ahora unimos mediante una recta los puntos B y D, el punto de corte resultante P sobre la recta FG será el que haga mínima la distancia entre los dos pueblos; o lo que es mismo, el punto P es colineal con B y D, y ya se sabe que la distancia más corta entre tres puntos, dos de ellos fijos, es la línea recta. En cualquier otro lugar que se construyera el puente, el camino sería más largo.

Pasando al cálculo en sí, la longitud total del camino será la suma de los segmentos BP y PD (o PA: son simétricos). Por una simple semejanza de triángulos:

Sin título-6
Sin título-10

Sin título-11

Por tanto la suma mínima de las distancias de cada pueblo al puente será de 30,1389 Km.

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: