El nenúfar, el viento y la geometría plana

Uno de los muchos e interesantes acertijos del conocido matemático Sam Loyd. Tan solo requiere conocimientos muy simples de geometría plana, aunque en este caso puede que estén un poco olvidados.

La geometría plana es una rama de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. Así pues estudia, entre otras, superficies y figuras como el triángulo o el círculo. Se la conoce también por geometría euclídea en honor al matemático griego Euclides, primero en estudiarla en el siglo IV a.C., autor del famoso tratado “Los Elementos” cuyo texto se mantuvo como único “autorizado” hasta la aparición en el siglo XIX de las llamadas geometrías no euclídeas. De la vida de Euclides se conoce poco, salvo que vivió en Alejandría (Egipto) durante el reinado de Ptolomeo I. No así de su obra “Los Elementos” compuesta por trece libros, considerada una de las más divulgadas de la historia y la segunda en número de ediciones publicadas después de la Biblia. En ella recopila gran parte de los conocimientos matemáticos y geométricos de su época, representados en el sistema de axiomas conocido como “Postulados de Euclides”. Su obra perduró sin variaciones hasta bien entrado el siglo XIX y sus teoremas se aprenden generalmente en la escuela actual.

Nenúfar 01

El problema dice así:

“El poeta Longfellow era un buen matemático que a menudo hablaba de las ventajas de ataviar los problemas matemáticos con ropajes atractivos, de modo que apelaran a la fantasía del estudiante en vez de utilizar el lenguaje seco técnico de los libros de texto. El problema del nenúfar es uno de los varios que Longfellow presentaba en su novela “Kavanagh”.

Es tan simple que cualquiera, incluso alguien sin ningún conocimiento matemático o geométrico, podría resolverlo; no obstante ilustra una importante verdad geométrica de una manera que jamás podría olvidarse. No recuerdo con exactitud la enunciación del problema tal como Longfellow me la describió personalmente durante una discusión acerca del tema, pero se refiere a un nenúfar que crecía en un lago. La flor estaba a un palmo de la superficie del agua, y cuando la brisa la inclinaba rozaba la superficie a dos codos de distancia. A partir de estos datos se podía calcular la profundidad del lago.

Ahora bien, para nuestro caso, supongamos que (tal y como muestra el dibujo) el nenúfar está a diez pulgadas por encima de la superficie del agua, y que si se lo inclinara hacia un lado desaparecería bajo la superficie en un punto situado a veintiuna pulgadas de donde originalmente estaba.

¿Cuál es la profundidad del lago?

Sin título-2

Ver solución en “Los vecinos enfrentados y el parque común”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el artículo “Más agua en el vino o vino en el agua, o como confundir o no con la palabra”

Es cierto que el enunciado, si no confuso, al menos tal parece un pequeño enredo al principio. Sin embargo, una vez que se tiene claro el planteamiento, lo más importante es abstraerse para intentar buscar una solución lógica.

Lo podemos enfocar desde diferentes ópticas:

a) Teniendo en cuenta que “una imagen (datos) vale más que mil palabras”, si llamamos:
a = cantidad de agua que queda al final del proceso en el vaso A.
a’= ídem. cantidad de agua en el vaso V.
v = ídem. cantidad de vino en el vaso V.
v’= ídem. cantidad de vino en el vaso A.

Resultaría la siguiente igualdad:
a + v’ = v + a’

Por otra parte sabemos que:
a + a’ = v + v’,
puesto que las cantidades de líquido al inicio eran iguales en ambos vasos.

Como además, y esto es fundamental para su resolución, la cantidad de líquido en el vaso A es la misma al principio y al final, podemos Sin título-1decir también que:
a + v’ = a + a’

O lo que es lo mismo:
v’ = a’

Por tanto:
“La cantidad de vino en el agua es la misma que la cantidad de agua en el vino”

b) Para los no partidarios de un método matemático, existe un segundo enfoque bastante asimilable a la llamada “cuenta de la vieja”. No es muy ortodoxo, pero si “práctico”. Imaginemos que en cada uno de los vasos en vez de líquido tenemos pequeñas bolas de dos colores: por ejemplo, en el vaso A, 500 amarillas, y en el V, otras 500 verdes. Si ahora cogemos una cuchara y sacamos, por ejemplo, 20 bolas verdes del vaso V y las pasamos al A resultaría:
A= 520 (500 amarillas y 20 verdes)
V= 480 (480 verdes)

Si a continuación mezclamos las bolas del vaso A (amarillas y verdes) y extraemos del mismo una cuchara con 20 bolas (lógicamente la misma cantidad anterior), que contiene por ejemplo 15 amarillas y 5 verdes, y luego la pasamos al vaso V, resultaría la siguiente composición:
A= 500 (485 amarillas y 15 verdes)
V= 500 (485 verdes y 15 amarillas)

Se pueden establecer por tanto las siguientes conclusiones:
1) En ambos vasos existen la misma cantidad de bolas (500)
2) En el vaso V hay 485 bolas verdes y 15 amarillas
3) En el vaso A hay 485 bolas amarillas y 15 verdes

Lo que nos lleva decir lo siguiente:
“La cantidad de bolas amarillas entre las verdes (vaso V) es la misma que la de bolas verdes (vaso A) entre las amarillas”.

Que en el caso del símil con líquidos se traduciría en:
“Existe la misma cantidad de vino en el agua, que de agua en el vino”.

c) Siguiendo con el “juego de palabras” del enunciado, y un poco en su línea de “enredo”, una tercera respuesta sería la siguiente:
Las cantidades iniciales de líquido que hay en cada vaso son iguales. Lo mismo podemos decir de las que existen al final después haber mezclado una cucharada de líquido en un sentido (de V a A) y luego otra en sentido contrario (de A a V). Tampoco admite duda que al final del proceso algo de vino queda en el vaso A (el que falta en el V) y algo de agua en el V (el que falta en el A). Pues bien, si estas dos cantidades no fueran iguales querría decir que uno de los dos vasos contendría más líquido, lo que no es posible puesto que las cantidades finales son iguales en ambos vasos.

O lo que es lo mismo:
“Lo que falta de agua en el vaso A es igual a lo que falta de vino en el vaso V”.

De ahí que, como decíamos al principio, lo más importante es entender primero el planteamiento y luego encontrar el camino (en este caso hay más de uno) que nos lleve a la solución.

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