Los vecinos enfrentados y el parque común

Un problema sencillo que servirá para iniciarnos en el campo de la topología, rama matemática sobre la que iremos publicando algunos acertijos.

”Se dice que tres vecinos que compartían un pequeño parque (ver figura) tuvieron una riña. El dueño de la casa grande, quejándose de que los pollos de su vecino lo molestaban, construyó un camino con cercado que iba desde su puerta a la salida central que está en la parte inferior. Más tarde, el hombre de la derecha construyó también un camino hasta la salida de la izquierda, y a su vez el hombre de la izquierda construyó el suyo hasta la salida de la derecha.
Ninguno de estos caminos se cruzaba.
¿Puedes dibujarlos correctamente?”

Ver solución en “Padre, hijo y el pensamiento lateral”.

Vecinos 02

Para su resolución tan solo necesita algo, muy poco, de ingenio. Tan solo decir que la topología nos permite doblar, estirar, encoger, retorcer… los objetos, siempre que se haga sin romper ni separar lo que ya estaba unido (es decir, la transformación debe ser continua). Tampoco se puede pegar lo que estaba separado. Así, por ejemplo, en topología un triángulo es lo mismo que un cuadrado, ya que podemos transformar uno en otro de forma continua, sin romper ni pegar, por simple deformación. Sin embargo, una circunferencia no es lo mismo que un segmento, ya que habría que partirla por algún punto. De ahí que pocos de los conceptos habituales de la geometría como ángulo, línea recta, área,… tengan sentido en topología.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el artículo “El nenúfar, el viento y la geometría plana”.

Se trata de un problema relativamente sencillo de resolver… siempre que se recuerde un famoso teorema de bachillerato, que seguro la mayoría tenemos casi olvidado. Hace referencia a la “potencia de un punto” a una circunferencia y dice así:

Imagen3“En geometría elemental, si dos rectas que pasan por un punto P cortan a una circunferencia fija en los puntos A, B y C, D respectivamente, entonces PA•PB = PC•PD. En otras palabras, cualquier otra línea que pase por P y corte a la circunferencia determinará dos segmentos cuyo producto es también del mismo valor”.

Como complemento de información (no afecta a la resolución del problema) únicamente añadir que, aunque el teorema es muy antiguo (Euclides ya lo incluyó en su famoso tratado matemático “Los Elementos”), el término “potencia” fue introducido por Jakob Steiner, gran matemático suizo. El teorema en sí no da ningún indicio sobre cual puede ser el valor del producto de los segmentos (solo señala que se mantiene constante), sin embargo, en 1876 Steiner demostró que su valor depende de la posición del punto en relación a la circunferencia: “La potencia de un punto P (producto de los segmentos) respecto a una circunferencia de radio r es igual a la cantidad (d2- r2|, donde d es la distancia del punto P al centro de la circunferencia y r el radio de la misma”.

Ciñéndonos al problema, si trazamos una circunferencia desde el punto de arranque del nenúfar y radio igual a su longitud, podemos observar que los dos segmentos o cuerdas AB (coincidente con la altura de la superficie del lago) y CD (coincidente con un diámetro, Imagen1cuyo valor es el doble de la longitud del nenúfar), se cortan en el punto P. De acuerdo con lo dicho para el teorema de Euclides:

PA*PB = PC *PD.

Como PA = PB =21,
Y el radio = OD = p +10, resulta:

21 * 21 = 10 * (2p+10)

De donde se deduce que la profundidad del lago sería:

p= (441-100)/20= 17,05 cm.

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2 Responses to Los vecinos enfrentados y el parque común

  1. Alexandre Franco dice:

    Un saludo, compañero.
    Gran labor la tuya. Reconozco que me has tenido enganchado varias horas en tu blog. Es evidente que conoces más de matemáticas que yo (que siempre me han encantado pero no he estudiado a fondo), pero te quería comentar para decirte que tienes un error sencillo de aritmética en la resolución de este ejercicio. 341/20 = 17,05. Es una tontería, y lo comento a buenas. El tema es que yo había resuelto el ejercicio de otra manera (utilizando el teorema de Pitágoras, considerando X la hipotenusa (y longitud del nenúfar), y 21 y (x-10) los catetos. Resolviendo la ecuación me daba 17,05 la profundidad (x-10) y al ver tu resultado he comprobado mis cálculos por 13 costados para acabar descubriendo que el error no era mío. Ha podido ser aritmética o incluso un simple fallo de transcripción.

    ¡Un saludo y sigue así!

    • eltrasterodepalacio dice:

      Efectivamente el resultado correcto es 17,05 como indicas y no 17,5 que es el que figuraba en la solución (ya lo he corregido). Se trata de un error de transcripción por mi parte.
      Muchas gracias por tu apreciación.
      También por los comentarios que haces acerca del blog.

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