La cinta de Moebius y la topología

En el post “Euler y los siete puentes de Königsberg” hicimos referencia a la topología como un tipo de geometría basado en la estructura de los objetos y no en las medidas, que suele ser lo habitual. Esta interesante rama de las Matemáticas, que también hemos citado en “Los vecinos enfrentados”, permite doblar, estirar, encoger, retorcer… siempre que se haga sin romper ni separar lo que ya estaba unido, ni tampoco pegar lo que estaba separado. Así, por ejemplo, en topología un triángulo es lo mismo que un cuadrado (podemos transformar uno en otro de forma continua); sin embargo, una circunferencia no es lo mismo que un segmento (habría que partirla por algún punto).

Un chiste habitual entre los topólogos es que “son incapaces de distinguir una taza de una rosquilla”. Algo que pudimos comprobar en uno de los ejemplos de “La conjetura de Poincaré” (ver figura superior) donde decíamos que dos figuras son homeoformas (la misma forma) cuando, con pequeñas restricciones que no vienen al caso, una se puede transformar en otra por un proceso de deformación.

Hecho este pequeño preámbulo sobre la topología daremos un paso más para hablar de la famosa “cinta de Moebius”. Para ello nos apoyaremos de nuevo en los mismos tres “vecinos enfrentados”, que en esta ocasión tienen un problema más difícil de resolver. Imaginemos tres pozos situados enfrente de sus casas a los que quieren acceder, pero debido a su fuerte animadversión sus caminos en ningún momento se pueden cruzar. Se trata pues de “salvar” la situación. Granjas y pozos 01O lo que es lo mismo, para ello se necesitaría trazar nueve líneas: A-1, A-2, A-3, B-1, B-2, B-3, C-1, C-2, C-3 que nunca se crucen (ver figura de la izquierda).

Tan solo pedimos que se intente durante un rato (no demasiado largo), pues en apariencia no tiene solución. Sin embargo, los tres vecinos se dieron cuenta de que si vivieran en una “cinta mágica”, algunos llaman así a la “cinta de Moebius”, su problema quedaría resuelto. Su diseñador, al que debe su nombre, la definió de la siguiente manera: “Si cogemos una cinta de papel y la unimos por sus extremos resulta un anillo; pero si a uno de ellos le damos media vuelta antes, retorciéndolo, y luego los pegamos, el resultado es otra ‘cinta’ con aplicaciones muy diferentes”.


Cinta de Moebius

Cinta de Moebius 01Si en el problema planteado hubiésemos colocado las casas y los pozos en el interior de una cinta de Moebius comprobaríamos que la solución es posible. Veríamos com el último escollo quedaría resuelto gracias a las propiedades inherentes a esta cinta “mágica”. En el dibujo de abajo se puede observar como el camino que va desde la casa A hacia la izquierda puede llegar al pozo 3 sin cruzarse con ningún otro… ¡solo que por lo que ‘parece’ la parte trasera! Alguien podría decir: “¡Se ha hecho trampa! Hemos llegado a todos los pozos, sí, pero a uno de ellos por el otro lado de la cinta. ¡Así…cualquiera!” A lo que Möebius seguramente hubiera respondido: “¿De que otro lado está hablando? ¡Solo hay un lado! Si ves dos lados en mi cinta, por favor píntame uno de azul y el otro de amarillo”. Son muchos los que han intentado, pero nadie lo ha conseguido. El resultado es que se empieza pintando con un color y se termina igual en el mismo sitio. Puedes comprobarlo: coge un lápiz, inicia el trazado de una línea en cualquier parte y, sin tocar ningún borde, sigue, sigue… y al final te encontrarás con que alcanzas de nuevo el punto de partida. Conclusión: ¡¡La cinta de Moebius tan solo tiene un lado!!; al contrario que una cinta normal, ‘cilíndrica’, que tiene dos.

Solución. Granjas y pozos. Problema

Solución al problema planteado entre los tres vecinos “enfrentados”, los caminos y los pozos.

Entre las propiedades de la cinta de Moebius cabe citar las siguientes:
1) Tiene una sola cara.

Si se colorea comenzando por la ‘aparentemente’ exterior, al final quedará coloreada toda la cinta. Por tanto, no tiene sentido hablar de cara interior y exterior.
2) Tiene un solo borde.
Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo y ver que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad del mismo.
3) Es una superficie no orientable.
Si se parte con una par de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta se llegará al punto de partida con la orientación invertida. O lo que es lo mismo: una persona que se deslizara ‘tumbada’ sobre ella, mirando hacia la derecha, al recorrer una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.
4) Otras propiedades.-
Si se corta a todo lo largo se obtienen dos resultados diferentes según dónde se realice el corte. a) Si se hace en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una cinta más larga pero con dos vueltas, y b) Si a esta ‘nueva’ cinta se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, lo que se consigue son otras dos cintas iguales entrelazadas. A medida que se van cortando cada una en este sentido se siguen obteniendo más bandas entrelazadas. Y así sucesivamente.


Vídeo explicativo que incluye algunas propiedades de la cinta de Moebius.

Como ya hemos dicho, en topología tienen poco sentido conceptos tan habituales como “ángulo”, “línea recta”, “área”… Entonces, ¿para qué sirve esta rama de la geometría? Plano MetroUn claro ejemplo lo tenemos en el plano del metro o línea de autobuses de una gran ciudad  con sus distintas estaciones y trayectos. Se puede observar que no es geométricamente exacto, la curvatura de sus líneas no coincide, su longitud no está a escala, ni tampoco la posición relativa de las estaciones. Sin embargo, se trata de un plano muy útil (de hecho, si fuera exacto sería muy engorroso de usar y poco práctico) que posee otro grado de ‘exactitud’: representa con ‘fidelidad’ la información necesaria para llegar a nuestro destino. Es lo que se conoce como “información topológica” y la cinta de Möebius uno de sus ejemplos.

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