Los tres marineros, Diofanto, y el ‘buen’ reparto

Hace tiempo que no hacemos referencia a Beremis Samir y sus andanzas por tierras árabes. Viajero singular a quien le gusta ‘enseñar’  Matemáticas en “El hombre que calculaba” con su ingenio y cálculos simples. Un libro de problemas, también de curiosidades, muy interesante, cuyo atractivo consiste en planteamientos integrados en aspectos de la vida cotidiana. Apoyado en personajes del mundo musulmán entremezcla historia y ficción. En esta ocasión nos presenta un problema para el que se necesitan ciertos conocimientos relacionados con la resolución de ecuaciones. Pero antes de que nadie se eche atrás, decir que con la sencilla explicación dada en nuestro post “Tres reyes, un mono y el reparto de plátanos” su solución no resulta complicada.

Dice así tras una pequeña historia de introducción:

Beremis 01El elogio que Beremís hizo de la ciencia de los hindúes recordando una página de la Historia de la Matemática causó inmejorable expresión en el espíritu del príncipe Cluzir-Schá. El joven soberano, impresionado por la disertación, declaró que consideraba al calculista un sabio completo, capaz de enseñar el arte de Báskara a un centenar de brahmanes.
Nota.- Báskara (1114-1185) fue uno de los matemáticos hindúes más influyentes de la historia. Alcanzó un conocimiento de los sistemas de numeración y resolución de ecuaciones al que no se había llegado en Europa en muchos siglos.

– He quedado encantado –añadió- al oír la leyenda de la infeliz Lilavati, que perdió el novio por causa de una perla de su vestido. Los problemas de Báskara, citados por el elocuente calculista, son realmente interesantes y presentan, en sus enunciados, ese “espíritu poético” que es tan difícil de hallar en las obras de la Matemática. Siento, sin embargo, que el ilustre matemático no haya citado el famoso problema de los tres marineros, que aparece en el libro intitulado “Faiouentchoutin”, y que hasta ahora no tiene solución.

– Príncipe magnánimo –respondió Beremís-, entre los problemas de Báskara por mi citados no figuró el de los tres marineros por la simple razón de que no lo conozco sino vagamente por un relato incierto y dudoso, ignorando su enunciado exacto.

– Yo lo conozco perfectamente –dijo el príncipe-, y tendría verdadero placer en recordar ahora esa cuestión que tiene atribulados a tantos algebristas. Y el príncipe Cluzir-Schá contó lo siguiente:

“Un navío, que volvía de Serendibe (antiguo Ceilán) trayendo gran cantidad de especias, fue alcanzado por un violento temporal. La embarcación habría sido destruida por las olas si no fuera por el valor y el esfuerzo de tres marineros que, en medio de la tormenta, manejaban las velas con extremada pericia. El capitán, queriendo recompensar a los denodados marineros, les dio cierto número de ‘catils’ (monedas). Eran más de doscientos y menos de trescientos. Las monedas fueron colocadas en una caja para que al día siguiente, al desembarcar, el almojarife (recaudador) las repartiese entre los tres valientes.

Sucedió, sin embargo, que durante la noche uno de los tres marineros se despertó y pensó: ‘Sería mejor que retirase mi parte. Así no tendré oportunidad de discutir con mis amigos’. Y sin decir nada a los compañeros fue, en puntas de pie, hasta donde se hallaba guardado el dinero, lo dividió en tres partes iguales y notó que la división no era exacta ya que sobraba un ‘catil’. – ‘Por causa de esta mísera monedita es probable que mañana haya riña y discusión. Será mejor sacarla’. Y el marinero la tiró al mar, retirándose cauteloso. Llevaba su parte y dejaba las que correspondían a sus compañeros en el mismo lugar.

Horas después el segundo marinero tuvo la misma idea. Fue al arca en que se depositara el premio colectivo y lo dividió en tres partes iguales. Sobraba una moneda y optó por tirarla al mar para evitar posibles discusiones. Y salió de allí llevando la parte que creía le correspondía.

El tercer marinero, ignorando por completo que sus compañeros se le habían anticipado, tuvo el mismo pensamiento. Levantose de madrugada y fue a la caja de los ‘catils’. Dividió las monedas que en ella encontró, y la división tampoco resultó exacta; sobró un ‘catil’. No queriendo complicar el reparto, el marinero la tiró al mar y regresó satisfecho a su litera.

Al día siguiente, al desembarcar, el almojarife encontró un puñado de ‘catils’ en la caja. Sabiendo que esas monedas pertenecían a los marineros, las dividió en tres porciones que repartió entre sus dueños. Tampoco fue exacta la división. Sobraba una moneda que se guardó como retribución a su trabajo y habilidad. Es claro que ninguno de los marineros reclamó, pues cada uno estaba convencido de haber retirado su parte. Ahora bien: ¿cuántas eran las monedas? ¿Cuánto recibió cada marinero?”.

Ver solución en “Diez bolsas, diez monedas, y el razonamiento lógico”.

Mercado arabe 01

Como ya dijimos en otro post las ecuaciones diofánticas, uno de los trabajos de investigación que más ha impulsado la Teoría de Números, son aquellas ecuaciones algebraicas de varias variables que solo admiten como soluciones válidas números enteros. Así por ejemplo en la ecuación de dos variables x+y=4, si aceptamos como válido cualquier número real (entero o no) se puede comprobar que tendría infinitas soluciones. Ahora bien, si restringimos su campo al de los números enteros sus soluciones se limitan a solo tres: (1,3) (2,2) y (3,1). 

El problema de los ‘tres marineros’ se puede reducir a una ecuación diofántica de dos variables similar al ejemplo anterior, aunque mucho más sencilla pues está restringida a solo una solución limitada por la frase: “Los ‘catils’ eran más de doscientos y menos de trescientos”. Una vez planteada, lo cual no es muy difícil, su resolución solo requiere conocimientos básicos.

Únicamente añadir que Diofanto de Alejandría, al que deben su nombre las ecuaciones diofánticas, fue un matemático griego y está considerado por su originalidad y aportaciones el padre de los algebristas modernos. Su obra más conocida, la “Aritmética”, es un compendio que reúne 130 problemas distribuidos en 13 libros de los que únicamente se conservan 6.

=========================================================================================

A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “El cumpleaños de Cheryl”.

El enunciado nos da una lista de 10 fechas posibles al tiempo que nos dice que Albert, tras hablar con Cheryl, solo conoce el mes de su cumpleaños, y Bernard, después de una conversación similar, solo sabe el día.

Siguiendo el diálogo establecido, comencemos por el primero en hablar, en este caso Albert:
“No sé cuándo es el cumpleaños de Cheryl, pero se que Bernard tampoco”.
Su respuesta nos induce a pensar que el cumpleaños no puede ser en el mes de mayo ya que al ser el día 19 una de las fechas posibles (y no repetirse en ningún otro mes), no lo puede descartar con esa rotundidad puesto que Bernard, que solo conoce el día, aún no ha hablado. Únicamente se puede manifestar así porque Cheryl no lo celebra en el mes de mayo. Lo mismo ocurriría en el mes de junio con su fecha del 18, cuyo día tampoco se repite en otro mes. Por tanto hemos eliminado las fechas de 15, 16 y 19 de mayo, y 17 y 18 de junio, quedando como fechas posibles 14 y 16 de julio y 14, 15 y 17 de agosto.

Alternativas que también conoce Bernard quien al escuchar la respuesta de Albert contesta:
“Al principio no sabía cuándo era el cumpleaños de Cheryl, pero ahora ya lo se”.
Una respuesta que permite descartar en principio el día 14 que se repite en ambos meses, quedando solo como posibles el 16 de julio y el 15 y 17 de agosto.

Si Bernard afirma que ya conoce la fecha (son las tres distintas) es porque solo él conoce el día. Sin embargo nosotros aún no. Es entonces cuando Albert acude en nuestra ayuda para concluir diciendo:
“Entonces yo también sé cuándo es su cumpleaños”.
Está claro que el mes de agosto con dos fechas posibles no le permitiría afirmarlo con esa rotundidad, pues solo conoce el mes.

Por tanto, la respuesta válida para el cumpleaños de Cheryl sería el 16 de julio.

Sin título-1

 

Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: