Diez bolsas, diez monedas, y el razonamiento lógico

Nada de números, apenas cálculos, y solo lógica. Una buena mezcla para los que no les gusta coger lápiz y papel. Un problema ‘sencillo’ que solo requiere tiempo para ‘pensar’; eso sí, con imaginación. Pura matemática recreativa. Dice así:

Sin título-1“Se dispone de 10 bolsas numeradas del 1 al 10 que contienen 10 monedas cada una. Las monedas son todas iguales en apariencia con solo una excepción: todas pesan 10 gr., salvo las de una bolsa que pesan 1 gr. más. O lo que es lo mismo, 11 gr. cada una.

Por otra parte, se tiene una balanza que mide el peso exacto, pero solo podrá ser usada una vez.

El problema consiste en averiguar, con una sola pesada, cual es la bolsa en que se encuentran las monedas que pesan diferente (1 gr. más cada una).

Ver solución en “Numeración aparcamiento y manera de pensar”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Los tres marineros, Diofanto y el ‘buen’ reparto”.

Siguiendo un razonamiento similar al realizado en el post “Los tres reyes, un mono y el reparto de plátanos” podemos decir de manera resumida que:
– El primer marinero tira una moneda al mar y divide el resto entre 3, quedándose con 1 parte y dejando 2 para repartirlas al día siguiente.
– Poco después aparece el segundo en escena y repite la misma operación: divide el resto entre 3, se queda con 1 parte, deja 2 partes, y tira la moneda sobrante al mar.
– Más tarde, el tercero hace lo mismo con el resto de monedas, tirando también la sobrante al mar.
– Finalmente, al día siguiente, al desembarcar, el almojarife coge las monedas (‘catils’) que encuentra en la caja y, sabiendo que pertenecen a los marineros, las divide en tres partes que reparte entre ellos. Tampoco en su caso fue exacta la división, solo que la moneda sobrante se la guarda como retribución a su trabajo.

Ahora vayamos al planteamiento matemático:
Si llamamos X al total de monedas, como el primer marinero las divide en 3 partes, se queda 1 que llamaremos A, deja el resto, 2A, y tira la moneda sobrante al mar, resulta:
A= (X – 1)/3, o lo que es lo mismo: X=3A+1
A continuación el segundo marinero hace una operación similar: divide el resto, 2A en 3 partes, coge 1 que llamaremos B, deja el resto, 2B, y tira la moneda sobrante al mar. Por tanto:
B=(2A-1)/3, o lo que es lo mismo: A=(3B+1)/2
Por último el tercero realiza la misma operación que sus compañeros: divide el resto 2B en 3 partes, coge 1 que llamaremos C, deja el resto, 2C, y tira también la moneda que sobra al mar. O sea:
C=(2B-1)/3, o lo que es lo mismo: B=(3C+1)/2
Finalmente, el almojarife divide el resto que se encuentra 2C en 3 partes (a cada una la llamaremos Y), y se guarda la moneda que le sobra. Es decir:
2C=3Y+1, o sea: C=(3Y+1)/2

Sin título-1Si hacemos todas las sustituciones necesarias para que nos quede una ecuación con dos incógnitas, X (nº total de monedas) e Y (cantidad de cada lote del último reparto) resultaría:
X=3A+1= 3(3B+1)/2+1= 3(3((3C+1)/2 +1)/2+1= 3(3((3((3Y+1)/2+1)/2 +1)/2+1
Es decir:
81Y + 65= 8X, que es la ecuación diofántica resultante.

Solo nos queda dar valores enteros a Y, apuntar los valores resultantes para X (nº total de monedas) hasta que aparezca el primer número entero (y único) comprendido entre 200 y 300 que nos daría la solución. Una condición que solo se cumple para Y=23 que da un valor de X=241, total de monedas (‘catils’) a repartir. Una solución a la que se llega rápido pues solo requiere un mínimo de ‘tanteos’ al tener que encajarla entre 200 y 300.

A continuación indicamos la respuesta (idéntica) que dio el ‘calculista’ Beremis Samir, quien notando que la historia narrada por el príncipe despertaba gran interés entre los nobles presentes creyó necesario darla de forma completa:
“Las monedas eran, al principio, 241. El primer marinero las dividió en tres partes; tiró un “catil” al mar y se llevó un tercio de 240, o sea, 80 monedas, dejando 160. El segundo marinero halló, por lo tanto, 160 monedas; tiró una al mar y dividió las restantes, 159, en tres partes. Tomó la tercera parte, o sea 53, y dejó el resto, 106. El tercer marinero encontró en la caja 106 monedas, dividió ese resto en tres partes iguales, tirando al mar la moneda que sobraba. Retiró la tercera parte de 105, o sea, 35 monedas, dejando el resto, o sea 70.
El almojarife encontró 70 monedas, las dividió en tres partes iguales, tocando 23 monedas más a cada marinero”.

Tabla 01.1

El reparto fue hecho, por tanto, de la manera siguiente:

Tabla 02.1

Al llegar al final de la solución, y habiendo dejado de hablar Beremís, el príncipe, para demostrar su admiración por el ingenio del calculista, le ofreció como recompensa una pequeña medallita recubierta de rubíes.
– Esta joya –explicó sonriente el soberano hindú- fue grabada por un artista genial. En una de las caras aparece mi nombre entrelazado con una flor de loto; y la otra contiene algunos versos sobre el mar escritos en lenguaje simbólico.
Beremís se mostró emocionado con el presente del príncipe y, tomando la medalla entre sus manos, la examinó con vivo interés.
– Es raro –dijo al fin-, pero el artista que imaginó esta delicada obra de arte se equivocó sin querer. No encuentro aquí ninguna poesía sobre el mar. Solo leo pensamientos sobre el Saber y la Ciencia:
“El que procura instruirse es más amado por Dios que aquel que combate en una guerra santa”.
“Aquel que educa y proporciona instrucción a los ignorantes es como un vivo entre los muertos”.
“Si pasara un día sin que aprendiera alguna cosa que me aproximase a Dios, que la aurora de ese día no sea bendecida”.
“Es un sacrilegio prohibir la Ciencia. Pedir a la Ciencia es ofrecer actos de adoración a Dios; enseñarla es hacer caridad. La ciencia es la vida del Islam, la columna de la Fe.”
– Amigo mío –dijo el poeta Iezid-. Conozco todos esos pensamientos. Fueron dictados por Mahoma (¡con Él en la oración y en la gloria!) y se enseñan hoy en todas las escuelas.
El sheik sonrió y concluyó:
– A mi modo de ver, el artista que grabó esa medalla no engañó al príncipe. La ciencia, según todos dicen, es un mar inmenso y profundo. Por consiguiente, esos pensamientos, desde el punto de vista simbólico, son “versos sobre el mar”.

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