Velocidad, tiempo y distancia, el cocodrilo y la cebra

mayo 11, 2018

Con el fin de estimular la creatividad, en esta sección se suele plantear el enunciado de un problema para a continuación exponer la solución del anterior publicado. Solo ha habido una excepción (“El camino más corto entre la araña y la mosca”) donde su planteamiento y la solución se han dispuesto en un mismo post. Un problema en apariencia sencillo que en realidad no era así; de ahí que para no provocar el desánimo se optase por hacerlo en conjunto.

Desde siempre a muchas personas les atraen los ‘problemas curiosos’; aquellos que suelen despertar interés bien por un entretenido enunciado o lo ingenioso de la solución que no coincide con la más ‘lógica’ a primera vista. Un tipo de planteamientos que, además de servir de distracción, ejercitan, y mucho, la inteligencia. Aunque por distinto motivo, este es el caso que nos ocupa. Un problema de solución compleja que requiere ciertos conocimientos matemáticos, no muy habituales en esta sección más enfocada a supuestos sencillos, apenas cálculos, que hagan ‘pensar’ en cualquier ‘dirección’. Si bien hay que decir, y esta es la razón de fondo, que en el expuesto a continuación ha habido de todo: ¡hasta quienes han llegado a la solución correcta mediante simples conocimientos de geometría! Eso si, una respuesta que, por las circunstancias y controversias que ha generado, ha sido objeto de mucho debate. Se cuenta que fueron unos estudiantes escoceses quienes tuvieron que enfrentarse a este complicado ejercicio en su prueba de Selectividad (Scottish Qualificarions Authority- SQA) y no les resultó nada fácil, pues la nota mínima se tuvo que bajar hasta un 3,4 sobre 10 según señala la BBC. Dice así:

“Los protagonistas son un cocodrilo y una cebra a la que quiere dar caza, que está situada a 20 metros de distancia en el otro lado de un río.
Nota.- Como es sabido, los cocodrilos se mueven a una velocidad diferente según lo hagan por tierra (son más rápidos) que por agua.

El tiempo que el cocodrilo necesita para alcanzar a su presa puede reducirse si nada ‘X’ metros corriente arriba hasta un punto ‘P’. El tiempo que tarda, ‘T’, se mide en décimas de segundo y está definido por la fórmula T (x) = 5 v36+x2+ 4 (20-x).

Las preguntas son las siguientes:
1- Calcula cuanto tiempo necesita el cocodrilo si no va por tierra
2- Calcula el tiempo que necesita el cocodrilo si nada el mínimo posible.
3- ¿De acuerdo con estos dos extremos, cuál es el valor de X que da el tiempo mínimo posible para alcanzar la presa?”

Como información complementaria que ayude en la búsqueda de la solución decir que:
a) Se debe tener en cuenta que si se minimiza el tiempo en el agua se recorrerán 20 metros a la máxima velocidad, aunque la distancia será la máxima recorrida por el cocodrilo.
b) Si por el contrario se hace todo por el agua, el cocodrilo recorrerá la distancia mínima, pero a una velocidad menor.

SOLUCIÓN

Ya se indicó que no es un problema fácil; de ahí que se pueda dar por válido con solo un planteamiento correcto. Como se ha señalado, el principal interés viene motivado por las muchas controversias generadas. Tantas que no todos están de acuerdo en cual es la solución correcta.

Imaginamos que habrá habido muchas dudas a la hora de su enfoque: unos se habrán quedado ‘atascados’, otros ‘llegado’ a un planteamiento más o menos correcto, y alguno habrá conseguido, suponemos, completar la solución. Una respuesta bastante ‘compleja’ a tenor de los resultados. En primer lugar por los propios alumnos escoceses objeto del examen. Aunque insistimos: ¡lo más importante es haber sido capaces de llegar al planteamiento! Con ello uno se puede dar por satisfecho.

Para los interesados en la resolución completa, en este blog se difunde paso a paso. El secreto está en que si se reduce el tiempo en el agua (recorrido por los catetos) se pueden cubrir 20 metros a velocidad máxima; en cambio, si se hace todo sobre el agua la distancia sería minima, pero a una velocidad menor.

En el siguiente vídeo se explica otra alternativa.

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La isla de los ojos azules, un atractivo juego de lógica

marzo 9, 2018

Es un hecho que los problemas de lógica son atractivos para pasar un buen rato. En esta ocasión traemos un acertijo del conocido matemático argentino Adrián Paenza donde a la aplicación del pensamiento lateral, siendo importante, no le viene mal un poco de sentido común. Para su resolución no se necesitan conocimientos matemáticos; tan solo capacidad de razonar, eso sí no siempre por los caminos más comunes o esperados. Dice así:

“En una isla hay 100 habitantes. Todos ellos tienen o bien ojos azules o bien ojos marrones. Todos ven el color de los otros, pero no el suyo propio. Está prohibido hablar entre ellos de ese tema. No hay espejos ni trampas posibles. Eso sí: hay una ley en la isla que establece que si alguien ‘descubre’ que tiene ojos azules, debe abandonarla inexorablemente a las 8 de la mañana del día siguiente. Todos los pobladores tienen la misma capacidad para razonar y todos son capaces de usar una lógica impecable.

Un día, una persona llega de visita a la isla y, mientras los mira a todos, dice: “¡Qué bueno es ver al menos una persona con ojos azules después de tanto tiempo de estar en alta mar!”

Ahora es cuando toca pensar para buscar respuesta a estas preguntas:
¿Qué consecuencias trajo esta frase entre los habitantes de la isla? Es decir, una vez que los pobladores escucharon al visitante decir que había al menos uno de ellos que tenía ojos azules.
¿Qué es lo que ocurrió después?

La solución en un próximo post.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Los trenes, la mosca aplastada y la velocidad relativa”.

Una manera sencilla de enfocar este problema, sin introducirse en extraños vericuetos, cálculos engorrosos, series numéricas u otro tipo de peripecias (que también son válidas) es la siguiente:

En el momento de partida los dos trenes se encuentran a una distancia de 100 Km y su velocidad es de 50 Km/h. Por tanto tardarán 1 hora en encontrarse (justo a mitad del camino); tiempo que es el mismo que la mosca estuvo volando antes del choque. Dicho esto, solo nos quedará averiguar la distancia recorrida. Algo muy fácil. Si la velocidad de la mosca es de 70 Km/h, está claro que al cabo de 1 hora habrá recorrido… 70 Km.

La segunda parte del problema es algo menos ‘sencilla’. Al cambiar la mosca su velocidad de 70 Km/h (mayor que la de cada uno de los trenes) a 35 Km/h (inferior a la de ambos), se da un supuesto que suele crear algo de confusión si uno pretende guiarse por cálculos matemáticos. Sin embargo, su resolución no es difícil si hacemos que entre en escena el pensamiento lateral, y apelamos al sentido común, que nos llevaría a la siguiente conclusión: “La mosca es incapaz de salir de la primera locomotora. Por tanto su recorrido es nulo”. Su velocidad (35 Km/h) es inferior a la de la máquina (50 Km/h), por tanto quedaría ‘pegada’ a la misma sin poder realizar ningún desplazamiento. Hay quien apunta otra solución señalando que, si la mosca pudiese salir por un lateral de la máquina, en el momento del choque habría recorrido 35 Km y se encontraría a 15 Km (50-35) del lugar del impacto. Una solución que podría ser válida si respondiese (que no es así) al enunciado de un problema que hace clara referencia a una… mosca ‘aplastada’ en el choque.

Circula una curiosa anécdota, más bien una leyenda, sobre el célebre matemático húngaro-norteamericano John Von Neumann, uno de los grandes científicos del siglo XX, que contribuyó de forma notable al avance de la física cuántica, teoría de juegos, ciencias de la computación y el análisis numérico, al que le plantearon el mismo problema. Su interlocutor, con una mezcla de asombro y decepción por su rápida respuesta, le dijo: “Casi todo el mundo intenta resolverlo sumando la serie infinita… ¡Seguro que usted conocía el truco!” A lo que Von Neumann contestó: “¿Qué truco? ¡Así es cómo yo lo he hecho!”. Es normal que nuestra lógica mental nos lleve a pensar que la mosca toca cada tren un número de veces antes de morir aplastada, por lo que una forma de de resolverlo sería sumando la serie (‘infinita’) de distancias, pero sería la manera más larga y complicada de hacerlo.


Los trenes, la mosca aplastada y la velocidad relativa

enero 16, 2018

Determinados problemas matemáticos ‘permanecen’ en el tiempo, en especial aquellos con una larga historia detrás. Este es uno de ellos. De los más conocidos en el ámbito de la Matemática Recreativa, su enunciado es muy sencillo y su solución… también. Dice así:

Supongamos dos trenes, ambos por la misma vía, que están a punto de recorrer un camino de 100 kilómetros en dirección contraria. Por tanto, en algún momento chocarán de frente. Su velocidad es la misma: 50 Km/hora.

Situada en la locomotora de uno de los ellos, hay una mosca que tiene la ‘rara’ habilidad de volar muy rápidamente a 70 Km/hora. Además, le ocurre un fenómeno muy curioso: cuando los trenes se pongan en marcha simultáneamente empezará a recorrer la distancia que media entre uno y otro. Y lo hace de modo que una vez que llega a la locomotora que encuentra de frente se dará la vuelta instantáneamente dirigiéndose de nuevo hacia la otra máquina. El proceso se repite hasta que los dos trenes chocan entre sí (con la mosca en el medio).

¿Cuántos kilómetros recorrerá la mosca antes de morir aplastada entre las dos locomotoras? ¿Y cuanto habría recorrido si su velocidad hubiera sido de 35 Km/hora (justo la mitad) en lugar de los 70 Km/hora indicados?

Ver solución en “La isla de los ojos azules, un atractivo juego de lógica”.

A continuación unas reflexiones de Adrián Paenza, conocido matemático argentino del que ya hemos hablado en otros post, acerca de su visión del problema:
a) Si se elige el camino adecuado pronto, y por tanto se encuentra la solución con rapidez,
es posible que no se entienda el por qué de lo dicho al inicio: ¡parecerá ‘un problema más’!
b) Si se tiene que emplear más tiempo en buscar la solución, pero se halla el camino correcto para llegar al resultado: ¡se ‘disfrutará’ durante el ‘trayecto’!
c) Finalmente, si se invierte un tiempo más que suficiente para pensarlo sin llegar a ningún lado: ¡no abandone!

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Los cinco discos y la inteligencia racional”.

El sabio Beremís, el ‘hombre que calculaba’ como también se le conocía, expuso sin inmutarse la solución: “El príncipe Aradín le dijo al rey Cassim: ‘Mi disco es blanco’”.

Tal y como se muestra en el cuadro adjunto, hizo el siguiente razonamiento:
Nota.- Se observará que en las diversas hipótesis no incluyó, por no considerarlo necesario, el color del disco del príncipe Camozan, primer concursante interrogado.

“Admitida la primera hipótesis; esto es, si mi disco fuera negro y el de Benefir negro, el primer concursante no habría errado, pues viendo dos discos negros sabría (con absoluta certeza) que su disco era blanco y habría respondido acertadamente. Por tanto, si el primero se equivocó fue porque tuvo dudas, y ello sólo sería posible si hubiera visto un disco negro y otro blanco o dos blancos. Es evidente que la hipótesis I no es aceptable y debe ser, por consiguiente, desechada. Quedan, por tanto, las hipótesis II, III y IV”.

“Veamos ahora la hipótesis II: Negro (Yo), Blanco (Benefir). Diría entonces el príncipe Aradín: Admitamos que la hipótesis II fuese verdadera y supongamos que el disco (A) fuese negro, y el disco (B), de Benefir, blanco. Entonces, el príncipe Benefir, que es muy inteligente, sabiendo en virtud del razonamiento (como consecuencia del error del primero) que nuestros discos no podían ser negros (como ya probé) concluiría diciendo que el de él era blanco y habría acertado. Si Benefir erró, fue porque tuvo dudas, y esa duda solo podría surgir del hecho de haber visto en mis espaldas un disco blanco”.

“Desechada la hipótesis II, como acabo de probar, sólo quedan las III y IV. En cualquiera de las dos hipótesis, mi disco es blanco”.


Los cinco discos y la inteligencia racional

noviembre 15, 2017

Puede ser un buen momento para volver a recordar a Beremiz Samir, célebre protagonista de ‘El hombre que calculaba’ de Malba Tahan que tantos seguidores tiene. Un libro que llama la atención por la forma sencilla de plantear problemas de una manera práctica, en algunos casos en apariencia difíciles, pero siempre amenos. Una obra que destaca por estimular el arte en su resolución a la vez que el entusiasmo por las Matemáticas. Centrada en la historia de Beremíz, joven persa, hábil calculista, sus problemas ambientados en el Bagdad del siglo XIII suele estar aderezados con unos interesantes y divertidos preámbulos. En esta ocasión cuenta la decisión de una joven princesa para elegir a uno de sus tres pretendientes. Con algunos rasgos similares a la propuesta realizada en el post ‘El acertijo de los tres sombreros’, dice así.

Masudi, el famoso historiador árabe, habla, en los veintidós volúmenes de su obra, de los siete mares, de los grandes ríos, de los elefantes célebres, de los astros, de las montañas, de los diferentes reyes de China y de mil otras cosas, y no hace la menor referencia a Dahizé, hija única del rey Cassim, el “Indeciso”. No importa. A pesar de todo, Dahizé no será olvidada, pues entre los manuscritos árabes antiguos fueron encontrados más de cuatrocientos mil versos en los cuales centenares de poetas loaban y exaltaban los encantos y virtudes de la hermosa princesa. La tinta utilizada para describir la belleza de los ojos de Dahizé, transformada en aceite, alcanzaría para iluminar la ciudad del Cairo durante medio siglo.
– ¡Qué exageración!, diréis.
No admito la exageración, hermano de los árabes. La exageración es una forma disfrazada de mentir.
Pasemos, sin embargo, al caso que nos interesa.

“Cuando Dahizé cumplió 18 años de edad, fue pedida en matrimonio por tres príncipes cuyos nombres perpetuó la tradición: Aradín, Benefir y Camozan.
El rey Bassin quedó indeciso. ¿Cómo elegir entre los tres ricos pretendientes a aquel que sería el novio de su hija? Hecha la elección, la consecuencia inevitable sería que él, el rey, ganaría un yerno, pero, en cambio, se haría de dos rencorosos enemigos. Mal negocio para un monarca sensato y prudente, que deseaba vivir en paz con su pueblo y sus vecinos.

Consultada la princesa Dahizé, declaró que se casaría con el más inteligente de sus admiradores.
La decisión de la joven fue recibida con alegría por el rey Cassim. El caso, que parecía tan complicado, tenía, sin embargo, una solución muy simple. El soberano árabe mandó llamar a cinco de los más grandes sabios de la Corte y les dijo que sometiesen a los príncipes a un riguroso examen.

Terminadas las pruebas, los sabios presentaron al rey un minucioso informe. Los tres príncipes eran inteligentísimos. Conocían profundamente la Matemática, Literatura, Astronomía y Física; resolvían complicados problemas de ajedrez, cuestiones sutilísimas de Geometría, enigmas arrevesados y oscuras charadas.
– No hallamos medio alguno –concluyeron los sabios- que nos permitiese llegar a un resultado definitivo a favor de uno o de otro.

Frente a ese lamentable fracaso de la ciencia, resolvió el rey consultar a un derviche (en el sentido más habitual de la palabra, un miembro de una tariqa, es decir, una cofradía religiosa musulmana de carácter ascético o místico (sufí), que tenía fama de conocer la magia y los secretos del ocultismo.
El sabio derviche dijo al rey:
– Sólo conozco un medio que permitirá determinar cuál es el más inteligente de los tres. Es la prueba de los cinco discos.
– Hagamos, pues, esa prueba –accedió el rey.

Los príncipes fueron llevados al palacio. El derviche, mostrándoles cinco discos de cartón, les dijo:
– He aquí cinco discos, dos de los cuales son negros y tres blancos. Observen que son del mismo tamaño y del mismo peso, y que solo difieren en el color.
A continuación un paje vendó cuidadosamente los ojos de los tres príncipes, impidiéndoles así ver la menor luz.
El viejo derviche tomó entonces al azar tres de los cinco discos y los prendió a la espada de los tres príncipes.
Dijo entonces el derviche:
– Cada uno de vosotros lleva a cuestas un disco, cuyo color ignora. Seréis interrogados uno a uno. Aquel que descubra el color del disco que le cupo en suerte, será declarado vencedor y se casará con la linda Dahizé. El primero que sea interrogado podrá ver los discos de los otros dos concursantes; al segundo le será permitido ver el disco del último. Este tendrá que formular la respuesta sin ver disco alguno. Aquel que formule la respuesta exacta, para probar que no fue favorecido por el azar, tendrá que justificarla por medio de un razonamiento riguroso, metódico y simple. ¿Cuál de vosotros desea ser el primero?

Respondió prontamente el príncipe Camozan:
– Quiero ser el primero en responder.
El paje retiro la venda que cubría los ojos del príncipe Camozan, y este pudo ver el color de los discos que se hallaban sobre las espaldas de sus rivales.
Interrogado, en secreto, por el derviche, no acertó en su respuesta. Fue declarado vencido, y debió retirarse de la sala.
El rey anunció en voz alta, a fin de prevenir a los otros dos:
– El joven Camozan acaba de fracasar.

– Quiero ser el segundo –dijo el príncipe Benefir.
Desvendados los ojos, el príncipe vio la espalda de su competidor y vio el color de su disco. Aproximose al derviche y le dijo en secreto su respuesta:
El derviche sacudió negativamente la cabeza. El segundo príncipe había errado, y fue, por consiguiente, invitado a dejar el salón.
Quedaba aún el tercer concursante, el príncipe Aradín.

Este, luego que el rey anunció la derrota del segundo pretendiente, se aproximó al trono, con los ojos vendados, y dijo en voz alta el color de su disco.
El sabio cordobés, dirigiéndose al calculista, le preguntó:
– Deseo saber cuál fue la respuesta del príncipe Aradín y cuál el razonamiento hecho por el príncipe, que lo llevó a resolver con seguridad el problema de los cinco discos”.

Ver solución en “Los trenes, la mosca aplastada y la velocidad relativa”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Del coronel al soldado y viceversa: reparto de 28 caballos en 7 cuadras”.

Convertido ya en un clásico, su enunciado se acerca más a un relato de humor que a un problema matemático. Por hacer un breve recordatorio veamos los errores cometidos:

– El fallo más importante de la división propuesta por el coronel es empezar la operación por la derecha. A primera vista puede no parecer excéntrico si tenemos en cuenta que tanto la suma, como la resta o la multiplicación se inician precisamente por ese lado (derecho). Sin embargo, la división es la única de las ‘4 reglas’ que se hace por el lado opuesto (izquierdo). Además de la confusión que ya plantea lo dicho, se comienza por repartir la cifra de mayor orden entre la cifra del divisor. Un error que se repite en la comprobación final con una especie de ‘prueba del 9′, por llamarla de alguna forma, cuando procede a contar las patas de los caballos de la siguiente manera: hay 16 y como cada caballo tiene 4, divide 16 entre 4 para ver cuántos hay, ‘confirmando’ que cada cuadra contiene 13 caballos.

– En la ‘comprobación’ por el capitán de la multiplicación 13×7 se vuelve a cometer un error similar: colocar 1×7 bajo las unidades; aunque, para que hubiera salido bien, bastaría recordar que no eran 13 sino 1+3 lo que se multiplicaba por 7 y que a nadie debería sorprender.

– Pero quizás lo más ‘llamativo’, si algo pudiera ser más que lo dicho, es cuando el sargento realiza el cálculo de la suma colocando los siete 13 uno encima del otro y se dispone a ‘operar’ cometiendo de nuevo el mismo ‘error: suma siete veces 3, da 21, y añade siete veces 1 para aparecer los 28 caballos que eran los entregados.

En realidad se trata de un relato que pone de manifiesto cómo, tras la ‘ignorancia’ matemática, con la osadía se puede llegar a cualquier resultado por extraño que parezca. Algo que en un tono narrativo divertido ha convertido a este ‘problema’ en un ‘clásico’, que ha sido traducido a una gran cantidad de idiomas y por tanto de países.


Del coronel al soldado y viceversa: reparto de 28 caballos en 7 cuadras

septiembre 11, 2017

Se trata de un ‘problema’ matemático lleno de sorpresas a medida que va pasando por el escalafón militar de un cuartel. A primera vista, la ‘operación’ no parece tener sentido y pudiera… ser así. Aunque no es de profundidad, matemática se entiende, encierra mucho humor incluso hasta su desenlace. El país, lugar y situación donde transcurre es lo de menos. En nuestro caso lo hemos adaptado a la historia contada aquí con mucha gracia que comienza con la socorrida frase… “Érase una vez…”. A esta sección conviene ponerle un poco de humor de vez en cuando y este ‘problema’ cumple los requisitos. ¡Al final todo cuadra! Dice así:

“Érase una vez…, hace mucho tiempo, el coronel de un regimiento recibe un mensaje comunicándole que muy pronto le llegarían los caballos por él solicitados.
Al cabo de unos días un joven soldado se acerca al cuartel con 28 caballos. Previa parada en la entrada, donde muestra su credencial, el centinela del puesto se lo comunica al cabo de guardia, que le acompaña al despacho del sargento al que, tras pedirle permiso para entrar, se presenta con el saludo correspondiente:

– A sus órdenes mi sargento. Traigo conmigo los 28 caballos solicitados por este regimiento. Están amarrados y en estado de revista a la entrada del cuartel.
– Bien, soldado. Los estábamos esperando. Llévalos al patio y repártelos adecuadamente en las siete cuadras iguales que hay en él.
– Lo haría con gusto mi sargento, pero tengo un problema para cumplir su orden: no sé cómo hacerlo, soy analfabeto y de números sólo sé contar con los dedos, y nada más.

El sargento, se rascó la cabeza bajo la gorra, torciendo el gesto.
– Es el caso, soldado, que aunque yo sí entiendo de cuentas, sólo sé sumar, algo que me enseñó a hacer el capitán, y esa operación requiere otros conocimientos superiores. Ve a su despacho y que él te resuelva el problema.

El soldado se presentó de igual manera al capitán, quién le dijo que él, enseñado a su vez por el coronel, aparte de sumar y restar, sólo alcanzaba a multiplicar, operación muy útil, pero insuficiente para la complejidad de aquel problema. Por ello, lo envía al coronel para quién las matemáticas no tenían secreto alguno ya que incluso sabía dividir.

Tras solicitar su permiso, entra en su despacho, donde le pone al corriente de las diligencias hechas con sus subordinados. El coronel se retrepó entonces en la silla sonriendo con suficiencia.
– No te apures soldado, estás de suerte puesto que además de ser la máxima autoridad del regimiento, soy el único que domina con soltura la difícil operación de dividir necesaria para este menester, así que yo te diré cuantos caballos has de meter en cada cuadra para que queden equitativamente repartidos.

Dicho esto, cogió papel y lápiz y se puso a la tarea. Escribió, como debe ser, el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha encerrado en su caja y, entre dientes, razonó:
– Dos entre siete, no cabe, por tanto cojo el ocho, que sí cabe.
Ocho entre siete, a uno. Uno por siete, siete. De siete a ocho, uno y me bajo el dos, lo que nos da veintiuno, que entre siete son tres. Como el resto es cero, el resultando de la división es exactamente trece.
– Ese es el número de caballos que has de meter en cada cuadra. Ve, hazlo y después di al sargento que te den vino, un chusco y un catre donde descansar. Puedes retirarte.
– A las órdenes de usía mi coronel- se despidió el soldado con un marcial taconazo.

Al pasar por la puerta del despacho del capitán éste le llamó interesándose por el resultado del problema, deseando impresionar con sus habilidades matemáticas al soldado.
– Si el coronel te ha dicho que son 13 los caballos que debes encerrar en cada cuadra así será. No obstante, no estará de más que yo lo compruebe para asegurarnos de que esté bien hecha. Si multiplicamos los trece caballos que has de meter en cada cuadra por el número de éstas, o sea, siete, forzosamente nos han de salir los veintiocho que traes. Veamos pues.
Con no menos pericia que el coronel, fue recitando los pasos de la delicada operación.
– Siete por uno, son siete. Vamos con el otro. Siete por tres, veintiuno, que sumado al siete de antes, hacen veintiocho. Justo y cabal, soldado. El coronel, como siempre, está en lo cierto. Cumple pues su orden.

Tal y como le había ordenado el coronel, el joven se dirigió al despacho del sargento, más no le hizo falta entrar pues antes de llegar a la puerta ya salió aquel a su encuentro ansioso por poner en práctica su dominio de la suma e impresionar también al soldado. Una vez que hubo conocido el resultado obtenido por el jefe y avalado por el oficial, dijo:
– Si el coronel y el capitán han calculado que debes meter trece caballos en cada cuadra así habrá de ser, pero por asegurarnos y también porque veas la utilidad de la suma que, al fin y al cabo, no deja de ser una multiplicación más trabajada, pasa y observa como hago la comprobación para que vayas sabiendo de cuentas, por si con los años medras en la milicia y llegas a ser clase de tropa o hasta suboficial, como yo.

Dicho lo cual, sacó lápiz y papel y dispuso, como debe ser en una suma bien hecha, los siete treces en una columna para después, sin encomendarse a Dios ni al diablo y sin hacer distingos entre izquierda, derecha, arriba o abajo, sumar de corrido sin dejar ni uno todos los números que tenía delante.
– Así que tenemos… uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres… que hacen en total de… Mmmm… ¡Veintiocho!
– ¿Ves, como las matemáticas nunca fallan? Mete tranquilo las trece bestias por cuadra y ven después a que te facilite acomodo para que pases la noche./strong>

El soldado llevó los caballos hasta los establos, abrió las puertas de aquellos reducidos espacios y contándolos con cuidado para no equivocarse empezó a introducirlos una a uno.
– Uuuno, dooos, treees, cuaaaatro, ciiinco, seeeis… Hasta seis llegaron a entrar; y ni uno más, pues los animales, espantados al verse hacinados en aquel cubículo desconocido y oscuro, organizaron tal barahúnda de coces, relinchos y mordiscos que las paredes de la cuadra amenazaban con quebrarse. El joven, asustado, los hizo salir de nuevo, calmándolos después como pudo.
– Veamos: tres hombres sabios no pueden estar equivocados y las matemáticas esas, de las que tan bien hablan todos, tampoco -se dijo-. Piensa, Rufino-que así se llamaba el soldado-, y cumple bien la orden que te han dado si es que quieres hacer carrera en la milicia.
– Trece, trece, trece…-repetía angustiado para sí-. Recordó haber visto escrito aquel número en todas las operaciones: Trece. Y de golpe, una luz iluminó su entendimiento. ¿Qué es un trece sino un uno y un tres?
Esperanzado, metió en la primera cuadra un caballo atravesado al fondo y tres perpendiculares a él en la parte delantera. Un uno y un tres. O sea, un trece. Trece caballos cómodamente ubicados. Cerró la puerta y repitió la misma operación en las otras seis cuadras, comprobando aliviado que no sobraba ni faltaba ninguno.

Mas poco duró la tranquilidad al bueno de Rufino pues el coronel, alarmado por el alboroto que se había organizado hacía un momento, bajó a ver qué sucedía.
– No se preocupe, mi coronel, que consciente de mi error lo he enmendado y cada cuadra está ocupada por los trece caballos que usía indicó. Ahora duermen tranquilos en ellas.
– Eso parece, soldado, pero ya que he bajado, quiero comprobar que lo que dices es cierto. Abre las cuadras y contemos los animales que pernoctan en ellas.
– Es el caso, mi coronel, que ya están cerradas con llave y además los caballos han hecho un largo viaje. Es lástima que haya que despertarlos.
– Razón llevas muchacho, más no hará falta tal cosa puesto que por suerte yo estoy aquí y con una simple división podremos contar los equinos sin necesidad de abrir ninguna puerta. Échate al suelo y por el hueco que hay bajo una de ellas cuenta las patas que veas.
El soldado obedeció al instante y, no sin trabajo, las contó.
– Cabalmente, cuento dieciséis, mi coronel.
– Bien, pues dividamos dieciséis por las cuatro patas que tiene un caballo y el resultado nos dará el número de ellos que hay dentro.

A falta de papel y lápiz, el coronel se agachó y con el dedo en la tierra del suelo hizo la consabida cuenta que recitó también en voz alta para que lo viera el ignorante soldado.
– Uno entre cuatro, no cabe, pasemos pues al seis. Seis entre cuatro, a uno; uno por cuatro es cuatro; cuatro a seis, dos y me bajo el uno. Doce entre cuatro, tres. Tres por cuatro, doce, al doce, cero. Podemos dormir tranquilos, muchacho, y jurar ante Dios que trece, ni uno más ni uno menos, son los caballos que ahora mismo duermen en cada cuadra.

Y ahora, querido lector, ¿no crees que la Matemática, además de ciencia exacta, puede ser benévola con la ignorancia y también dejar lugar para la fantasía? En realidad es un chiste matemático más que un problema en sí. Seguro que uno enseguida se da cuenta de que los números no cuadran O eso esperamos. De ahí la pregunta, aunque sea muy fácil: ¿donde se encuentran los errores y los aciertos en las respuestas de la cadena de mando?: ¡Desde el coronel al soldado!

Ver solución en “Los cinco discos y la inteligencia racional”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Elección de cartas, un problema sencillo en un difícil contexto”

La solución correcta pasa por “darle vuelta a dos cartas: la que muestra un 8 y la que tiene el reverso marrón”. ¿Por qué? ¡Sólo una carta con número par y un color que no sea el rojo puede invalidar la proposición! Es decir, si le damos la vuelta a la carta con el 3, da igual que el reverso sea rojo o marrón: ¡esto no la anula! Lo mismo ocurre con la carta roja: ¡da igual que la otra cara sea par o impar! Sin embargo, si la carta con el 8 tiene el reverso marrón o la carta marrón tiene una cara con un número par: ¡la regla no se cumple! Así de fácil y al mismo tiempo así de complicado: ¡solo se cumple cuando le damos vuelta a las cartas citadas!

Un problema de lógica sencillo, que muy pocos (10 %) aciertan a la primera, que sigue desconcertando a los psicólogos tras más de 50 años y donde el contexto es una parte muy importante. Las personas pretendemos razonar de forma analítica, pero muchas veces nuestras decisiones no siguen una línea racional. En un próximo post trataremos de explicar por qué nuestro cerebro tiende a operar de esta manera.


Elección de cartas, un problema sencillo en difícil contexto

junio 30, 2017

Un problema de lógica, sencillo, que pocas personas suelen acertar en su intento inicial. Hasta el punto de llevar desconcertando a los psicólogos desde hace más de 50 años. El primero que planteó este acertijo o puzzle (se han hecho diversas versiones, todas muy parecidas) fue el psicólogo británico Wason. En apariencia parece fácil; sin embargo, según el contexto muchas veces nos desvía de la dirección adecuada. Sirve para explicar como nuestra manera de pensar depende en buena medida del entorno en que se realice. En un próximo post referiremos como, en ocasiones, las personas pretenden razonar de forma analítica, pero luego sus decisiones no siguen una línea racional.

A continuación una de las versiones más clásicas del problema. Dice así:

wason-02Encima de una mesa se muestran cuatro cartas que tienen un número en una de sus caras y un color en la otra. Sus caras visibles son 3, 8, rojo y marrón tal y como se ve en la figura.

Se establece que si una carta muestra un número par por un lado, entonces la cara opuesta debe ser roja. La pregunta es: ¿A qué dos cartas se debería dar la vuelta para comprobar la veracidad de la proposición anterior?

Nota.-
Tanto una respuesta que identifica una carta a la que no es necesario dar la vuelta o que no lo hace con una carta a invertir son incorrectas.

Ver solución en “Del coronel al soldado y viceversa: reparto de 28 caballos en 7 cuadras”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “El cuadrado, el triángulo, su área y las apariencias”

Lo único que se necesita saber o recordar para su resolución es que el área del triángulo es la mitad del producto de su base por la altura. Algo que todos conocemos sin mayor esfuerzo.

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Cada uno de los dos triángulos de la figura 1 tiene uno sus lados coincidentes con un lado del cuadrado y su vértice en el lado opuesto del mismo, lo cual significa que su altura es también igual al lado del cuadrado. Por tanto el área de cada triángulo será igual a la mitad del área del cuadrado (base por altura dividida por 2). Y por la misma razón, todo lo que no está incluido o forma parte del área de cada triángulo es también igual la mitad del área del cuadrado.

Si nos fijamos de nuevo en la figura 1 se puede observar que los sectores señalados con un punto rojo no forman parte del triángulo vertical, por lo que en base a la proposición anterior la suma de sus áreas será justo la mitad del área del cuadrado. Además, la suma de los sectores señalados con un punto verde coincidirá con el área del triángulo en posición horizontal, equivalente a su vez a la mitad del área del cuadrado, y por tanto igual a la suma de los sectores señalados con un punto rojo.

Dicho todo esto, como existen dos sectores que tienen puntos rojos y verdes simultáneamente, se puede deducir que el área del único sector que tiene solo un punto verde (f) tiene que ser igual a la suma del resto que solo tienen un punto rojo para mantener la igualdad citada (b+c+d).

O de una manera más gráfica para aquellos que el seguimiento del lenguaje utilizado les pueda resultar enrevesado, si denominamos con letras a las distintas áreas que intervienen:

a+b+c+d+e= suma áreas sectores punto rojo= suma sectores no pertenecientes al área triángulo vertical= mitad del área del cuadrado.
a+f+c= suma áreas sectores punto verde= área triángulo horizontal= mitad área del cuadrado.

Por tanto: a+b+c+d+e= a+f+c
O lo que es lo mismo: b+d+e=f

Que responde a la pregunta del problema: ¿Cual de las dos áreas es mayor? ¿El área donde se superponen los dos triángulos o el área que no pertenece a ninguno de ellos?, y cuya conclusión es: ¡las dos áreas son iguales!


El cuadrado, el triángulo, su área y las apariencias

abril 27, 2017

Un problema más para pensar de forma un poco diferente a la ‘habitual’. Eso que se ha dado en denominar, de manera un tanto coloquial: “pensamiento lateral”. En esta ocasión ni siquiera necesita cálculos, solo recordar las nociones más básicas de geometría relacionadas con el área del cuadrado y el triángulo. Planteado por Adrián Paenza, conocido divulgador matemático argentino, requiere mantener la mente abierta a cualquier supuesto. Dice así:

“En la Figura 1 se muestra un cuadrado que tiene inscritos dos triángulos que tienen uno de sus lados coincidentes con uno de los lados del cuadrado. Uno de ellos con su lado izquierdo y el otro en la base inferior. O lo que es lo mismo, cada triángulo tiene dos vértices coincidentes con dos vértices del cuadrado, estando ubicado el tercero en cualquier punto del lado opuesto del mismo.

Asimismo, se puede apreciar como los dos triángulos entre sí se cortan formando un área común o superpuesta tal y como se ve en color en la Figura 2. Y también un área que no pertenece a ninguno de ellos como se indica en la Figura 3.

La pregunta es: ¿Cual de las dos áreas es mayor? ¿El área donde se superponen los dos triángulos o el área que no pertenece a ninguno de ellos?”

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Ver solución en “Elección de cartas, un problema sencillo en difícil contexto”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “El truelo y una extraña paradoja”

En su enunciado ya comentamos que su solución encerraba una extraña paradoja. Y ésta no es otra, contra lo que pudiera parecer, que según la teoría de probabilidades lo mejor para el tirador A es que haga su primer disparo… al aire.

A continuación le llegaría el turno al tirador B que por lógica debería hacerlo contra el tirador C. Se trata del contrario más peligroso y tiene claro que si falla, C, que es un tirador perfecto (100 %), le devolvería el disparo y lo eliminaría en el siguiente turno. Tampoco debemos olvidar que B es más certero (67 %) que A (33 %) y, de no hacerlo así, truelo-01sería más arriesgado pues la siguiente ronda sería ya un duelo tradicional. Por otro lado también queda claro que cualquier resultado que se de en el duelo entre B y C su consecuencia es que uno de los dos habrá ‘desaparecido’ antes de que se inicie el siguiente turno para A.

De esta manera se puede afirmar que el tirador A consigue dos cosas:
1) Además de ser el primer tirador en el ‘truelo a tres’ que lo sea también en el ‘duelo a dos’.
2) Sus probabilidades de vencer aumentan ya que no sería contra dos contrarios sino contra solo uno.

Se puede concluir diciendo que el ‘truelo’ desemboca en la extraña paradoja de que el jugador con peor puntería al final sea quien tenga más probabilidades de ganar, pues los otros dos contendientes tenderán a dispararse entre sí cuando les llegue su turno, y por tanto la mejor opción para el tirador A es… realizar el primer disparo… al aire.