Los cinco discos y la inteligencia racional

noviembre 15, 2017

Puede ser un buen momento para volver a recordar a Beremiz Samir, célebre protagonista de ‘El hombre que calculaba’ de Malba Tahan que tantos seguidores tiene. Un libro que llama la atención por la forma sencilla de plantear problemas de una manera práctica, en algunos casos en apariencia difíciles, pero siempre amenos. Una obra que destaca por estimular el arte en su resolución a la vez que el entusiasmo por las Matemáticas. Centrada en la historia de Beremíz, joven persa, hábil calculista, sus problemas ambientados en el Bagdad del siglo XIII suele estar aderezados con unos interesantes y divertidos preámbulos. En esta ocasión cuenta la decisión de una joven princesa para elegir a uno de sus tres pretendientes. Con algunos rasgos similares a la propuesta realizada en el post ‘El acertijo de los tres sombreros’, dice así.

Masudi, el famoso historiador árabe, habla, en los veintidós volúmenes de su obra, de los siete mares, de los grandes ríos, de los elefantes célebres, de los astros, de las montañas, de los diferentes reyes de China y de mil otras cosas, y no hace la menor referencia a Dahizé, hija única del rey Cassim, el “Indeciso”. No importa. A pesar de todo, Dahizé no será olvidada, pues entre los manuscritos árabes antiguos fueron encontrados más de cuatrocientos mil versos en los cuales centenares de poetas loaban y exaltaban los encantos y virtudes de la hermosa princesa. La tinta utilizada para describir la belleza de los ojos de Dahizé, transformada en aceite, alcanzaría para iluminar la ciudad del Cairo durante medio siglo.
– ¡Qué exageración!, diréis.
No admito la exageración, hermano de los árabes. La exageración es una forma disfrazada de mentir.
Pasemos, sin embargo, al caso que nos interesa.

“Cuando Dahizé cumplió 18 años de edad, fue pedida en matrimonio por tres príncipes cuyos nombres perpetuó la tradición: Aradín, Benefir y Camozan.
El rey Bassin quedó indeciso. ¿Cómo elegir entre los tres ricos pretendientes a aquel que sería el novio de su hija? Hecha la elección, la consecuencia inevitable sería que él, el rey, ganaría un yerno, pero, en cambio, se haría de dos rencorosos enemigos. Mal negocio para un monarca sensato y prudente, que deseaba vivir en paz con su pueblo y sus vecinos.

Consultada la princesa Dahizé, declaró que se casaría con el más inteligente de sus admiradores.
La decisión de la joven fue recibida con alegría por el rey Cassim. El caso, que parecía tan complicado, tenía, sin embargo, una solución muy simple. El soberano árabe mandó llamar a cinco de los más grandes sabios de la Corte y les dijo que sometiesen a los príncipes a un riguroso examen.

Terminadas las pruebas, los sabios presentaron al rey un minucioso informe. Los tres príncipes eran inteligentísimos. Conocían profundamente la Matemática, Literatura, Astronomía y Física; resolvían complicados problemas de ajedrez, cuestiones sutilísimas de Geometría, enigmas arrevesados y oscuras charadas.
– No hallamos medio alguno –concluyeron los sabios- que nos permitiese llegar a un resultado definitivo a favor de uno o de otro.

Frente a ese lamentable fracaso de la ciencia, resolvió el rey consultar a un derviche (en el sentido más habitual de la palabra, un miembro de una tariqa, es decir, una cofradía religiosa musulmana de carácter ascético o místico (sufí), que tenía fama de conocer la magia y los secretos del ocultismo.
El sabio derviche dijo al rey:
– Sólo conozco un medio que permitirá determinar cuál es el más inteligente de los tres. Es la prueba de los cinco discos.
– Hagamos, pues, esa prueba –accedió el rey.

Los príncipes fueron llevados al palacio. El derviche, mostrándoles cinco discos de cartón, les dijo:
– He aquí cinco discos, dos de los cuales son negros y tres blancos. Observen que son del mismo tamaño y del mismo peso, y que solo difieren en el color.
A continuación un paje vendó cuidadosamente los ojos de los tres príncipes, impidiéndoles así ver la menor luz.
El viejo derviche tomó entonces al azar tres de los cinco discos y los prendió a la espada de los tres príncipes.
Dijo entonces el derviche:
– Cada uno de vosotros lleva a cuestas un disco, cuyo color ignora. Seréis interrogados uno a uno. Aquel que descubra el color del disco que le cupo en suerte, será declarado vencedor y se casará con la linda Dahizé. El primero que sea interrogado podrá ver los discos de los otros dos concursantes; al segundo le será permitido ver el disco del último. Este tendrá que formular la respuesta sin ver disco alguno. Aquel que formule la respuesta exacta, para probar que no fue favorecido por el azar, tendrá que justificarla por medio de un razonamiento riguroso, metódico y simple. ¿Cuál de vosotros desea ser el primero?

Respondió prontamente el príncipe Camozan:
– Quiero ser el primero en responder.
El paje retiro la venda que cubría los ojos del príncipe Camozan, y este pudo ver el color de los discos que se hallaban sobre las espaldas de sus rivales.
Interrogado, en secreto, por el derviche, no acertó en su respuesta. Fue declarado vencido, y debió retirarse de la sala.
El rey anunció en voz alta, a fin de prevenir a los otros dos:
– El joven Camozan acaba de fracasar.

– Quiero ser el segundo –dijo el príncipe Benefir.
Desvendados los ojos, el príncipe vio la espalda de su competidor y vio el color de su disco. Aproximose al derviche y le dijo en secreto su respuesta:
El derviche sacudió negativamente la cabeza. El segundo príncipe había errado, y fue, por consiguiente, invitado a dejar el salón.
Quedaba aún el tercer concursante, el príncipe Aradín.

Este, luego que el rey anunció la derrota del segundo pretendiente, se aproximó al trono, con los ojos vendados, y dijo en voz alta el color de su disco.
El sabio cordobés, dirigiéndose al calculista, le preguntó:
– Deseo saber cuál fue la respuesta del príncipe Aradín y cuál el razonamiento hecho por el príncipe, que lo llevó a resolver con seguridad el problema de los cinco discos”.

La solución en un próximo post.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Del coronel al soldado y viceversa: reparto de 28 caballos en 7 cuadras”.

Convertido ya en un clásico, su enunciado se acerca más a un relato de humor que a un problema matemático. Por hacer un breve recordatorio veamos los errores cometidos:

– El fallo más importante de la división propuesta por el coronel es empezar la operación por la derecha. A primera vista puede no parecer excéntrico si tenemos en cuenta que tanto la suma, como la resta o la multiplicación se inician precisamente por ese lado (derecho). Sin embargo, la división es la única de las ‘4 reglas’ que se hace por el lado opuesto (izquierdo). Además de la confusión que ya plantea lo dicho, se comienza por repartir la cifra de mayor orden entre la cifra del divisor. Un error que se repite en la comprobación final con una especie de ‘prueba del 9′, por llamarla de alguna forma, cuando procede a contar las patas de los caballos de la siguiente manera: hay 16 y como cada caballo tiene 4, divide 16 entre 4 para ver cuántos hay, ‘confirmando’ que cada cuadra contiene 13 caballos.

– En la ‘comprobación’ por el capitán de la multiplicación 13×7 se vuelve a cometer un error similar: colocar 1×7 bajo las unidades; aunque, para que hubiera salido bien, bastaría recordar que no eran 13 sino 1+3 lo que se multiplicaba por 7 y que a nadie debería sorprender.

– Pero quizás lo más ‘llamativo’, si algo pudiera ser más que lo dicho, es cuando el sargento realiza el cálculo de la suma colocando los siete 13 uno encima del otro y se dispone a ‘operar’ cometiendo de nuevo el mismo ‘error: suma siete veces 3, da 21, y añade siete veces 1 para aparecer los 28 caballos que eran los entregados.

En realidad se trata de un relato que pone de manifiesto cómo, tras la ‘ignorancia’ matemática, con la osadía se puede llegar a cualquier resultado por extraño que parezca. Algo que en un tono narrativo divertido ha convertido a este ‘problema’ en un ‘clásico’, que ha sido traducido a una gran cantidad de idiomas y por tanto de países.

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Del coronel al soldado y viceversa: reparto de 28 caballos en 7 cuadras

septiembre 11, 2017

Se trata de un ‘problema’ matemático lleno de sorpresas a medida que va pasando por el escalafón militar de un cuartel. A primera vista, la ‘operación’ no parece tener sentido y pudiera… ser así. Aunque no es de profundidad, matemática se entiende, encierra mucho humor incluso hasta su desenlace. El país, lugar y situación donde transcurre es lo de menos. En nuestro caso lo hemos adaptado a la historia contada aquí con mucha gracia que comienza con la socorrida frase… “Érase una vez…”. A esta sección conviene ponerle un poco de humor de vez en cuando y este ‘problema’ cumple los requisitos. ¡Al final todo cuadra! Dice así:

“Érase una vez…, hace mucho tiempo, el coronel de un regimiento recibe un mensaje comunicándole que muy pronto le llegarían los caballos por él solicitados.
Al cabo de unos días un joven soldado se acerca al cuartel con 28 caballos. Previa parada en la entrada, donde muestra su credencial, el centinela del puesto se lo comunica al cabo de guardia, que le acompaña al despacho del sargento al que, tras pedirle permiso para entrar, se presenta con el saludo correspondiente:

– A sus órdenes mi sargento. Traigo conmigo los 28 caballos solicitados por este regimiento. Están amarrados y en estado de revista a la entrada del cuartel.
– Bien, soldado. Los estábamos esperando. Llévalos al patio y repártelos adecuadamente en las siete cuadras iguales que hay en él.
– Lo haría con gusto mi sargento, pero tengo un problema para cumplir su orden: no sé cómo hacerlo, soy analfabeto y de números sólo sé contar con los dedos, y nada más.

El sargento, se rascó la cabeza bajo la gorra, torciendo el gesto.
– Es el caso, soldado, que aunque yo sí entiendo de cuentas, sólo sé sumar, algo que me enseñó a hacer el capitán, y esa operación requiere otros conocimientos superiores. Ve a su despacho y que él te resuelva el problema.

El soldado se presentó de igual manera al capitán, quién le dijo que él, enseñado a su vez por el coronel, aparte de sumar y restar, sólo alcanzaba a multiplicar, operación muy útil, pero insuficiente para la complejidad de aquel problema. Por ello, lo envía al coronel para quién las matemáticas no tenían secreto alguno ya que incluso sabía dividir.

Tras solicitar su permiso, entra en su despacho, donde le pone al corriente de las diligencias hechas con sus subordinados. El coronel se retrepó entonces en la silla sonriendo con suficiencia.
– No te apures soldado, estás de suerte puesto que además de ser la máxima autoridad del regimiento, soy el único que domina con soltura la difícil operación de dividir necesaria para este menester, así que yo te diré cuantos caballos has de meter en cada cuadra para que queden equitativamente repartidos.

Dicho esto, cogió papel y lápiz y se puso a la tarea. Escribió, como debe ser, el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha encerrado en su caja y, entre dientes, razonó:
– Dos entre siete, no cabe, por tanto cojo el ocho, que sí cabe.
Ocho entre siete, a uno. Uno por siete, siete. De siete a ocho, uno y me bajo el dos, lo que nos da veintiuno, que entre siete son tres. Como el resto es cero, el resultando de la división es exactamente trece.
– Ese es el número de caballos que has de meter en cada cuadra. Ve, hazlo y después di al sargento que te den vino, un chusco y un catre donde descansar. Puedes retirarte.
– A las órdenes de usía mi coronel- se despidió el soldado con un marcial taconazo.

Al pasar por la puerta del despacho del capitán éste le llamó interesándose por el resultado del problema, deseando impresionar con sus habilidades matemáticas al soldado.
– Si el coronel te ha dicho que son 13 los caballos que debes encerrar en cada cuadra así será. No obstante, no estará de más que yo lo compruebe para asegurarnos de que esté bien hecha. Si multiplicamos los trece caballos que has de meter en cada cuadra por el número de éstas, o sea, siete, forzosamente nos han de salir los veintiocho que traes. Veamos pues.
Con no menos pericia que el coronel, fue recitando los pasos de la delicada operación.
– Siete por uno, son siete. Vamos con el otro. Siete por tres, veintiuno, que sumado al siete de antes, hacen veintiocho. Justo y cabal, soldado. El coronel, como siempre, está en lo cierto. Cumple pues su orden.

Tal y como le había ordenado el coronel, el joven se dirigió al despacho del sargento, más no le hizo falta entrar pues antes de llegar a la puerta ya salió aquel a su encuentro ansioso por poner en práctica su dominio de la suma e impresionar también al soldado. Una vez que hubo conocido el resultado obtenido por el jefe y avalado por el oficial, dijo:
– Si el coronel y el capitán han calculado que debes meter trece caballos en cada cuadra así habrá de ser, pero por asegurarnos y también porque veas la utilidad de la suma que, al fin y al cabo, no deja de ser una multiplicación más trabajada, pasa y observa como hago la comprobación para que vayas sabiendo de cuentas, por si con los años medras en la milicia y llegas a ser clase de tropa o hasta suboficial, como yo.

Dicho lo cual, sacó lápiz y papel y dispuso, como debe ser en una suma bien hecha, los siete treces en una columna para después, sin encomendarse a Dios ni al diablo y sin hacer distingos entre izquierda, derecha, arriba o abajo, sumar de corrido sin dejar ni uno todos los números que tenía delante.
– Así que tenemos… uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres… que hacen en total de… Mmmm… ¡Veintiocho!
– ¿Ves, como las matemáticas nunca fallan? Mete tranquilo las trece bestias por cuadra y ven después a que te facilite acomodo para que pases la noche./strong>

El soldado llevó los caballos hasta los establos, abrió las puertas de aquellos reducidos espacios y contándolos con cuidado para no equivocarse empezó a introducirlos una a uno.
– Uuuno, dooos, treees, cuaaaatro, ciiinco, seeeis… Hasta seis llegaron a entrar; y ni uno más, pues los animales, espantados al verse hacinados en aquel cubículo desconocido y oscuro, organizaron tal barahúnda de coces, relinchos y mordiscos que las paredes de la cuadra amenazaban con quebrarse. El joven, asustado, los hizo salir de nuevo, calmándolos después como pudo.
– Veamos: tres hombres sabios no pueden estar equivocados y las matemáticas esas, de las que tan bien hablan todos, tampoco -se dijo-. Piensa, Rufino-que así se llamaba el soldado-, y cumple bien la orden que te han dado si es que quieres hacer carrera en la milicia.
– Trece, trece, trece…-repetía angustiado para sí-. Recordó haber visto escrito aquel número en todas las operaciones: Trece. Y de golpe, una luz iluminó su entendimiento. ¿Qué es un trece sino un uno y un tres?
Esperanzado, metió en la primera cuadra un caballo atravesado al fondo y tres perpendiculares a él en la parte delantera. Un uno y un tres. O sea, un trece. Trece caballos cómodamente ubicados. Cerró la puerta y repitió la misma operación en las otras seis cuadras, comprobando aliviado que no sobraba ni faltaba ninguno.

Mas poco duró la tranquilidad al bueno de Rufino pues el coronel, alarmado por el alboroto que se había organizado hacía un momento, bajó a ver qué sucedía.
– No se preocupe, mi coronel, que consciente de mi error lo he enmendado y cada cuadra está ocupada por los trece caballos que usía indicó. Ahora duermen tranquilos en ellas.
– Eso parece, soldado, pero ya que he bajado, quiero comprobar que lo que dices es cierto. Abre las cuadras y contemos los animales que pernoctan en ellas.
– Es el caso, mi coronel, que ya están cerradas con llave y además los caballos han hecho un largo viaje. Es lástima que haya que despertarlos.
– Razón llevas muchacho, más no hará falta tal cosa puesto que por suerte yo estoy aquí y con una simple división podremos contar los equinos sin necesidad de abrir ninguna puerta. Échate al suelo y por el hueco que hay bajo una de ellas cuenta las patas que veas.
El soldado obedeció al instante y, no sin trabajo, las contó.
– Cabalmente, cuento dieciséis, mi coronel.
– Bien, pues dividamos dieciséis por las cuatro patas que tiene un caballo y el resultado nos dará el número de ellos que hay dentro.

A falta de papel y lápiz, el coronel se agachó y con el dedo en la tierra del suelo hizo la consabida cuenta que recitó también en voz alta para que lo viera el ignorante soldado.
– Uno entre cuatro, no cabe, pasemos pues al seis. Seis entre cuatro, a uno; uno por cuatro es cuatro; cuatro a seis, dos y me bajo el uno. Doce entre cuatro, tres. Tres por cuatro, doce, al doce, cero. Podemos dormir tranquilos, muchacho, y jurar ante Dios que trece, ni uno más ni uno menos, son los caballos que ahora mismo duermen en cada cuadra.

Y ahora, querido lector, ¿no crees que la Matemática, además de ciencia exacta, puede ser benévola con la ignorancia y también dejar lugar para la fantasía? En realidad es un chiste matemático más que un problema en sí. Seguro que uno enseguida se da cuenta de que los números no cuadran O eso esperamos. De ahí la pregunta, aunque sea muy fácil: ¿donde se encuentran los errores y los aciertos en las respuestas de la cadena de mando?: ¡Desde el coronel al soldado!

Ver solución en “Los cinco discos y la inteligencia racional”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Elección de cartas, un problema sencillo en un difícil contexto”

La solución correcta pasa por “darle vuelta a dos cartas: la que muestra un 8 y la que tiene el reverso marrón”. ¿Por qué? ¡Sólo una carta con número par y un color que no sea el rojo puede invalidar la proposición! Es decir, si le damos la vuelta a la carta con el 3, da igual que el reverso sea rojo o marrón: ¡esto no la anula! Lo mismo ocurre con la carta roja: ¡da igual que la otra cara sea par o impar! Sin embargo, si la carta con el 8 tiene el reverso marrón o la carta marrón tiene una cara con un número par: ¡la regla no se cumple! Así de fácil y al mismo tiempo así de complicado: ¡solo se cumple cuando le damos vuelta a las cartas citadas!

Un problema de lógica sencillo, que muy pocos (10 %) aciertan a la primera, que sigue desconcertando a los psicólogos tras más de 50 años y donde el contexto es una parte muy importante. Las personas pretendemos razonar de forma analítica, pero muchas veces nuestras decisiones no siguen una línea racional. En un próximo post trataremos de explicar por qué nuestro cerebro tiende a operar de esta manera.


Elección de cartas, un problema sencillo en difícil contexto

junio 30, 2017

Un problema de lógica, sencillo, que pocas personas suelen acertar en su intento inicial. Hasta el punto de llevar desconcertando a los psicólogos desde hace más de 50 años. El primero que planteó este acertijo o puzzle (se han hecho diversas versiones, todas muy parecidas) fue el psicólogo británico Wason. En apariencia parece fácil; sin embargo, según el contexto muchas veces nos desvía de la dirección adecuada. Sirve para explicar como nuestra manera de pensar depende en buena medida del entorno en que se realice. En un próximo post referiremos como, en ocasiones, las personas pretenden razonar de forma analítica, pero luego sus decisiones no siguen una línea racional.

A continuación una de las versiones más clásicas del problema. Dice así:

wason-02Encima de una mesa se muestran cuatro cartas que tienen un número en una de sus caras y un color en la otra. Sus caras visibles son 3, 8, rojo y marrón tal y como se ve en la figura.

Se establece que si una carta muestra un número par por un lado, entonces la cara opuesta debe ser roja. La pregunta es: ¿A qué dos cartas se debería dar la vuelta para comprobar la veracidad de la proposición anterior?

Nota.-
Tanto una respuesta que identifica una carta a la que no es necesario dar la vuelta o que no lo hace con una carta a invertir son incorrectas.

Ver solución en “Del coronel al soldado y viceversa: reparto de 28 caballos en 7 cuadras”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “El cuadrado, el triángulo, su área y las apariencias”

Lo único que se necesita saber o recordar para su resolución es que el área del triángulo es la mitad del producto de su base por la altura. Algo que todos conocemos sin mayor esfuerzo.

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Cada uno de los dos triángulos de la figura 1 tiene uno sus lados coincidentes con un lado del cuadrado y su vértice en el lado opuesto del mismo, lo cual significa que su altura es también igual al lado del cuadrado. Por tanto el área de cada triángulo será igual a la mitad del área del cuadrado (base por altura dividida por 2). Y por la misma razón, todo lo que no está incluido o forma parte del área de cada triángulo es también igual la mitad del área del cuadrado.

Si nos fijamos de nuevo en la figura 1 se puede observar que los sectores señalados con un punto rojo no forman parte del triángulo vertical, por lo que en base a la proposición anterior la suma de sus áreas será justo la mitad del área del cuadrado. Además, la suma de los sectores señalados con un punto verde coincidirá con el área del triángulo en posición horizontal, equivalente a su vez a la mitad del área del cuadrado, y por tanto igual a la suma de los sectores señalados con un punto rojo.

Dicho todo esto, como existen dos sectores que tienen puntos rojos y verdes simultáneamente, se puede deducir que el área del único sector que tiene solo un punto verde (f) tiene que ser igual a la suma del resto que solo tienen un punto rojo para mantener la igualdad citada (b+c+d).

O de una manera más gráfica para aquellos que el seguimiento del lenguaje utilizado les pueda resultar enrevesado, si denominamos con letras a las distintas áreas que intervienen:

a+b+c+d+e= suma áreas sectores punto rojo= suma sectores no pertenecientes al área triángulo vertical= mitad del área del cuadrado.
a+f+c= suma áreas sectores punto verde= área triángulo horizontal= mitad área del cuadrado.

Por tanto: a+b+c+d+e= a+f+c
O lo que es lo mismo: b+d+e=f

Que responde a la pregunta del problema: ¿Cual de las dos áreas es mayor? ¿El área donde se superponen los dos triángulos o el área que no pertenece a ninguno de ellos?, y cuya conclusión es: ¡las dos áreas son iguales!


El cuadrado, el triángulo, su área y las apariencias

abril 27, 2017

Un problema más para pensar de forma un poco diferente a la ‘habitual’. Eso que se ha dado en denominar, de manera un tanto coloquial: “pensamiento lateral”. En esta ocasión ni siquiera necesita cálculos, solo recordar las nociones más básicas de geometría relacionadas con el área del cuadrado y el triángulo. Planteado por Adrián Paenza, conocido divulgador matemático argentino, requiere mantener la mente abierta a cualquier supuesto. Dice así:

“En la Figura 1 se muestra un cuadrado que tiene inscritos dos triángulos que tienen uno de sus lados coincidentes con uno de los lados del cuadrado. Uno de ellos con su lado izquierdo y el otro en la base inferior. O lo que es lo mismo, cada triángulo tiene dos vértices coincidentes con dos vértices del cuadrado, estando ubicado el tercero en cualquier punto del lado opuesto del mismo.

Asimismo, se puede apreciar como los dos triángulos entre sí se cortan formando un área común o superpuesta tal y como se ve en color en la Figura 2. Y también un área que no pertenece a ninguno de ellos como se indica en la Figura 3.

La pregunta es: ¿Cual de las dos áreas es mayor? ¿El área donde se superponen los dos triángulos o el área que no pertenece a ninguno de ellos?”

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Ver solución en “Elección de cartas, un problema sencillo en difícil contexto”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “El truelo y una extraña paradoja”

En su enunciado ya comentamos que su solución encerraba una extraña paradoja. Y ésta no es otra, contra lo que pudiera parecer, que según la teoría de probabilidades lo mejor para el tirador A es que haga su primer disparo… al aire.

A continuación le llegaría el turno al tirador B que por lógica debería hacerlo contra el tirador C. Se trata del contrario más peligroso y tiene claro que si falla, C, que es un tirador perfecto (100 %), le devolvería el disparo y lo eliminaría en el siguiente turno. Tampoco debemos olvidar que B es más certero (67 %) que A (33 %) y, de no hacerlo así, truelo-01sería más arriesgado pues la siguiente ronda sería ya un duelo tradicional. Por otro lado también queda claro que cualquier resultado que se de en el duelo entre B y C su consecuencia es que uno de los dos habrá ‘desaparecido’ antes de que se inicie el siguiente turno para A.

De esta manera se puede afirmar que el tirador A consigue dos cosas:
1) Además de ser el primer tirador en el ‘truelo a tres’ que lo sea también en el ‘duelo a dos’.
2) Sus probabilidades de vencer aumentan ya que no sería contra dos contrarios sino contra solo uno.

Se puede concluir diciendo que el ‘truelo’ desemboca en la extraña paradoja de que el jugador con peor puntería al final sea quien tenga más probabilidades de ganar, pues los otros dos contendientes tenderán a dispararse entre sí cuando les llegue su turno, y por tanto la mejor opción para el tirador A es… realizar el primer disparo… al aire.


El truelo y una extraña paradoja

marzo 3, 2017

Estamos familiarizados con la palabra ‘duelo’ para aludir a un reto o combate dialéctico o de otro tipo entre dos equipos o personas, pero no así con ‘truelo’ cuando nos referimos al enfrentamiento entre tres partes. Pues bien, este es el caso a continuación planteado:

sin-titulo-1“Supongamos un truelo entre tres contendientes (A, B, C), en el que ganar significa eliminar a las otras dos, situadas en los vértices de un triángulo equilátero como muestra la figura.

Se sabe que cada vez que tira A acierta el 33 % de las veces (una de cada tres), B lo hace el 66 % (dos de cada 3), y la puntería de C es infalible (acierta siempre).

Las condiciones del truelo consisten en que cada uno tire una vez empezando por A (es la ventaja que han acordado al ser el peor tirador), luego lo hará B (por ser el segundo peor) y finalmente C. Este orden se mantendrá siempre, es decir: primero A, luego B y después C.

¿Cuál sería la mejor estrategia para A como primer tirador? ¿Disparar primero a B? ¿Hacerlo con C? ¿Otra alternativa?”

Se trata de un problema que encierra una extraña paradoja y una cierta contradicción con lo que en principio se pudiera pensar. Ejemplos de truelos conocidos los tenemos en el cine, como en la película de “El bueno, el feo y el malo” donde los tres protagonistas: el ‘bueno’, un cazarrecompensas y un asesino a sueldo se disputan un botín de 100000 dólares que se encuentra enterrado en la tumba de un cementerio. También se dan cita en la vida real como la confrontación entre serbios, croatas y bosnios en la guerra de la antigua Yugoslavia.

Ver solución en “El cuadrado, el triángulo, su área y las apariencias”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “La rutina y la velocidad y las consecuencias de un cambio”

En primer lugar con los datos disponibles se puede afirmar que el marido y la mujer (que sale de su casa siempre a la misma hora) llegan a casa 10 minutos antes de lo habitual. Por tanto la mujer necesitó conducir 10 minutos menos que en un día normal. Es decir, 5 minutos menos en el viaje de ida y otros 5 en el de vuelta.

reloj-02Por otro lado, si la mujer recoge siempre a su marido a las 5 de la tarde y en esta ocasión lo hace 5 minutos antes, quiere decir que se encuentran a las 4 h. 55 minutos. Si además tenemos en cuenta que el marido comienza a caminar a las 4 de la tarde (su tren ha llegado 1 hora antes de lo previsto) podemos concluir diciendo:

“El marido ha estado caminando durante 55 minutos” (desde la 4h. a las 4 h. 55’)

Como se puede ver se trata de un problema sencillo… cuando se conoce la solución, que puede parecer complicado por la aparente falta de datos. En estos casos se hace necesario acostumbrar a nuestra mente a practicar el ‘pensamiento lateral’ del que ya hemos hablado otras veces.


La rutina, la velocidad y las consecuencias de un cambio

enero 9, 2017

Adrián Paenza, profesor universitario conocido por su serie “Matemáticas, ¿estás ahí?”, nos plantea en esta ocasión un problema sencillo pero profundo a la vez. Sin apenas cálculos, su solución solo requiere pensar sin desechar ningún camino. Dice así:

”Un comerciante viaja a su trabajo todos los días usando el mismo tren, que sale de la misma estación y que tiene los mismos horarios, tanto de ida como de vuelta. Para colaborar con él, su mujer lo lleva por la mañana hasta la estación y luego lo pasa a buscar a las 5 de la tarde con su coche, de manera que pueda evitar el viaje en autobús. Para el problema en si, lo importante es que su mujer lo encuentra todos los días a la misma hora, a las 5 de la tarde, y viajan juntos hasta su casa.

reloj-03Un día, el marido termina su trabajo más temprano y toma un viaje previo que lo deja en la estación a las 4 de la tarde en lugar de a las 5, como era lo normal de cada día. Como hace un día espléndido, en vez de llamar a su mujer para contarle el cambio, decide empezar a caminar por la misma calle que usa ella para ir a buscarlo. Tal y como había previsto ambos se encuentran en el trayecto. Entonces, el marido se sube al auto y regresan juntos a su domicilio, al que llegan 10 minutos antes de lo habitual.

Si uno supone la situación ideal (e irreal también) de que:
a) La mujer viaja siempre a la misma velocidad,
b) Sale siempre a la misma hora de la casa para ir a buscar a su compañero,
c) El hombre se sube al auto de forma instantánea y sin perder tiempo, y
d) No aparece nada extraño en el camino, ni semáforos que dilaten o aceleren el tránsito, etc.

¿Puede usted determinar cuánto tiempo caminó el marido cuando su esposa lo encontró?”

Se trata de un problema que en principio puede desconcertar ante la escasez de datos para su resolución. No es así. Son suficientes. Solo hace falta pensar de un modo un poco ‘diferente’. Un buen ejemplo para poner a prueba nuestro ingenio. Como una pequeña aclaración solo añadir que no hace falta conocer ni la velocidad a la que iba el marido o de la mujer en su coche, ni tampoco la distancia entre el domicilio y la estación. Si acaso solo tener en cuenta lo señalado al final del enunciado.

Ver solución en “El truelo y una extraña paradoja”

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “El triángulo, su área y una pregunta capciosa”

A simple vista nuestro problema parece sencillo, pues bastaría recordar que el área de un triángulo es el resultado de multiplicar la base (10) por la altura (6) y dividir el producto por 2 (b*h/2). O lo que es lo mismo: 10*6/2= 30. Ahora bien, como muy bien dice el entrevistador, el triángulo rectángulo que nos ocupa no es posible. Y no lo es porque para un valor de la hipotenusa de 10, la altura máxima asociada la a misma nunca puede ser 6 sino 5. Una demostración sencilla.

Sabido es que el ángulo opuesto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 90º, mientras que los dos ángulos restantes son complementarios entre sí. Lo que nos lleva decir que, para un determinado valor de la misma, todos los triángulos posibles son los inscritos en una circunferencia cuyo diámetro sea la hipotenusa. Tal y como muestra la figura, se puede observar entonces como la altura asociada a la hipotenusa es máxima cuando es igual al radio de la circunferencia. Por tanto, si su longitud es 10, su altura relativa como máximo es 5, y su área 25. O bien si el valor de la altura (6) fuese correcto, no lo sería el de la hipotenusa (12), y su área 36. En cualquier caso, nunca podría existir un triángulo rectángulo como el indicado en el enunciado (hipotenusa 10 y altura asociada 6).

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El triángulo, su área, y una pregunta capciosa

noviembre 15, 2016

Problema muy interesante enviado por un amigo, compañero de estudios en la Universidad Laboral de Tarragona, en el que se mezclan recuerdos escolares, cálculos sencillos, y también ingenio. Me cuenta que se lo pasó otro amigo, en este caso de letras, abogado, diciéndole que no entendía por que habían suspendido al protagonista, aspirante a un trabajo en la firma Microsoft. Dice así:

Los procesos de selección de las empresas son muy exigentes. En el gigante Microsoft parece que no se andan con chiquitas y van un paso más allá. Eso, al menos, es lo que se extrae de las explicaciones de un estudiante de Informática del Instituto Nacional de Tecnología en Naranjal en La India. Prashant Bagdia no ha tenido contemplaciones contra la multinacional informática y ha relatado al portal Quora todos los detalles del proceso de selección que sufrió un amigo suyo que pretendía acceder a un trabajo en Microsoft. Al parecer, cuando la entrevista ya estaba tocando a su fin, el entrevistador soltó de repente una pregunta totalmente inesperada.

Sin título-2“Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa que mide 10 cm con una altura relativa o asociada a la misma de 6 cm. ¿Cuál es el área del triángulo?”

El amigo de Prashant (es lo que cuenta él) se quedó inmóvil en un primer momento. Luego dudó: ¿Por qué una compañía de software me hace una pregunta de geometría? ¿Tal vez es una pregunta trampa? ¿Tal vez no sea una pregunta trampa y sólo quiere ver como pienso en una cuestión tan insignificante?”, meditó.

Finalmente, decidió dar una respuesta aún con la idea de que podía ser una pregunta trampa.
“El área de cualquier triángulo es 0,5 de la base por la altura, con lo que la respuesta a esta pregunta sería 0,5 X 10 X 6, que es 30”.

“¿Seguro?”, inquirió el entrevistador. El amigo de Prashant se quedó pensando y respondió: “Sí, estoy seguro de que el área del triángulo es 30”. “Su respuesta es incorrecta. Esta ha sido la última pregunta de la entrevista. Puede esperar fuera hasta que le demos los resultados”, le espetó el entrevistador. “No puede existir, piense por qué”.

El aspirante se quedó de piedra. Sin embargo, antes de abandonar la sala preguntó cuál era la respuesta correcta. “El triángulo de la pregunta no puede existir nunca. Piense por qué”, fue la contestación que recibió del entrevistador de Microsoft.

Ver solución en “La rutina, la velocidad y las consecuencias de un cambio”
Está claro que la solución no es tan obvia como pueda parecer, ni tampoco tan difícil como algunos pueden pensar.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “El perro, el gato, la velocidad y el espacio”

La respuesta en principio parece clara. Leyendo el enunciado la primera apreciación es que gana… el gato. Veamos por qué:

– El gato necesitaría dar 100 saltos (cada uno de 2 pies) para cubrir la distancia de ida y vuelta, mientras que el perro lo haría en 68 saltos (cada uno de 3 pies) pues estaría obligado a recorrer 102 pies en lugar de 100 tanto a la ida como a la vuelta.
– Como el gato es más rápido que el perro, avanza 3 pies en cada salto en tanto que el perro solo 2, la relación de su velocidad estaría en la misma proporción (3 a 2). Es decir, cuando el gato ha dado sus 100 saltos, el perro aún no ha llegado a los 67 (100*2/3), por debajo de los 68 a los que se vería obligado para cubrir el trayecto completo.

Sin título-1Ahora bien, a pesar de esta respuesta, lógica por otra parte, todos los participantes estaban un poco ‘moscas’: ¡parecía demasiado sencilla a tenor de la recompensa! Además, el hecho de que Barnum, el famoso dueño del circo, hubiese hecho saber que daría la solución y entregaría los premios un primero de abril  (‘Día de tontos’ en la tradición norteamericana), y al mismo tiempo añadiese que… ‘ya no habría más gato encerrado sino liberado, para beneficio de los más interesados’, desconcertaba aún más.

Y así fue. Barnum se guardaba un as en la manga. Suponiendo que el gato se llama Terry y que el perro fuese una perra, Marlene, no cabe duda que la frase: ”El perro avanza tres pies a cada salto y el gato sólo dos, pero Marlene da tres saltos por cada dos de Terry” tendría un significado muy distinto, pues entonces el perro recorrería 9 pies y el gato solo alcanzaría 4 en la misma unidad de tiempo. En ese caso sería el perro el que ganaría la carrera al terminarla en 68 saltos, ya que el gato no habría llegado a los 46 (68*2/3), o lo que es lo mismo 90 pies y 8 pulgadas, una distancia inferior.