Los cinco discos y la inteligencia racional

noviembre 15, 2017

Puede ser un buen momento para volver a recordar a Beremiz Samir, célebre protagonista de ‘El hombre que calculaba’ de Malba Tahan que tantos seguidores tiene. Un libro que llama la atención por la forma sencilla de plantear problemas de una manera práctica, en algunos casos en apariencia difíciles, pero siempre amenos. Una obra que destaca por estimular el arte en su resolución a la vez que el entusiasmo por las Matemáticas. Centrada en la historia de Beremíz, joven persa, hábil calculista, sus problemas ambientados en el Bagdad del siglo XIII suele estar aderezados con unos interesantes y divertidos preámbulos. En esta ocasión cuenta la decisión de una joven princesa para elegir a uno de sus tres pretendientes. Con algunos rasgos similares a la propuesta realizada en el post ‘El acertijo de los tres sombreros’, dice así.

Masudi, el famoso historiador árabe, habla, en los veintidós volúmenes de su obra, de los siete mares, de los grandes ríos, de los elefantes célebres, de los astros, de las montañas, de los diferentes reyes de China y de mil otras cosas, y no hace la menor referencia a Dahizé, hija única del rey Cassim, el “Indeciso”. No importa. A pesar de todo, Dahizé no será olvidada, pues entre los manuscritos árabes antiguos fueron encontrados más de cuatrocientos mil versos en los cuales centenares de poetas loaban y exaltaban los encantos y virtudes de la hermosa princesa. La tinta utilizada para describir la belleza de los ojos de Dahizé, transformada en aceite, alcanzaría para iluminar la ciudad del Cairo durante medio siglo.
– ¡Qué exageración!, diréis.
No admito la exageración, hermano de los árabes. La exageración es una forma disfrazada de mentir.
Pasemos, sin embargo, al caso que nos interesa.

“Cuando Dahizé cumplió 18 años de edad, fue pedida en matrimonio por tres príncipes cuyos nombres perpetuó la tradición: Aradín, Benefir y Camozan.
El rey Bassin quedó indeciso. ¿Cómo elegir entre los tres ricos pretendientes a aquel que sería el novio de su hija? Hecha la elección, la consecuencia inevitable sería que él, el rey, ganaría un yerno, pero, en cambio, se haría de dos rencorosos enemigos. Mal negocio para un monarca sensato y prudente, que deseaba vivir en paz con su pueblo y sus vecinos.

Consultada la princesa Dahizé, declaró que se casaría con el más inteligente de sus admiradores.
La decisión de la joven fue recibida con alegría por el rey Cassim. El caso, que parecía tan complicado, tenía, sin embargo, una solución muy simple. El soberano árabe mandó llamar a cinco de los más grandes sabios de la Corte y les dijo que sometiesen a los príncipes a un riguroso examen.

Terminadas las pruebas, los sabios presentaron al rey un minucioso informe. Los tres príncipes eran inteligentísimos. Conocían profundamente la Matemática, Literatura, Astronomía y Física; resolvían complicados problemas de ajedrez, cuestiones sutilísimas de Geometría, enigmas arrevesados y oscuras charadas.
– No hallamos medio alguno –concluyeron los sabios- que nos permitiese llegar a un resultado definitivo a favor de uno o de otro.

Frente a ese lamentable fracaso de la ciencia, resolvió el rey consultar a un derviche (en el sentido más habitual de la palabra, un miembro de una tariqa, es decir, una cofradía religiosa musulmana de carácter ascético o místico (sufí), que tenía fama de conocer la magia y los secretos del ocultismo.
El sabio derviche dijo al rey:
– Sólo conozco un medio que permitirá determinar cuál es el más inteligente de los tres. Es la prueba de los cinco discos.
– Hagamos, pues, esa prueba –accedió el rey.

Los príncipes fueron llevados al palacio. El derviche, mostrándoles cinco discos de cartón, les dijo:
– He aquí cinco discos, dos de los cuales son negros y tres blancos. Observen que son del mismo tamaño y del mismo peso, y que solo difieren en el color.
A continuación un paje vendó cuidadosamente los ojos de los tres príncipes, impidiéndoles así ver la menor luz.
El viejo derviche tomó entonces al azar tres de los cinco discos y los prendió a la espada de los tres príncipes.
Dijo entonces el derviche:
– Cada uno de vosotros lleva a cuestas un disco, cuyo color ignora. Seréis interrogados uno a uno. Aquel que descubra el color del disco que le cupo en suerte, será declarado vencedor y se casará con la linda Dahizé. El primero que sea interrogado podrá ver los discos de los otros dos concursantes; al segundo le será permitido ver el disco del último. Este tendrá que formular la respuesta sin ver disco alguno. Aquel que formule la respuesta exacta, para probar que no fue favorecido por el azar, tendrá que justificarla por medio de un razonamiento riguroso, metódico y simple. ¿Cuál de vosotros desea ser el primero?

Respondió prontamente el príncipe Camozan:
– Quiero ser el primero en responder.
El paje retiro la venda que cubría los ojos del príncipe Camozan, y este pudo ver el color de los discos que se hallaban sobre las espaldas de sus rivales.
Interrogado, en secreto, por el derviche, no acertó en su respuesta. Fue declarado vencido, y debió retirarse de la sala.
El rey anunció en voz alta, a fin de prevenir a los otros dos:
– El joven Camozan acaba de fracasar.

– Quiero ser el segundo –dijo el príncipe Benefir.
Desvendados los ojos, el príncipe vio la espalda de su competidor y vio el color de su disco. Aproximose al derviche y le dijo en secreto su respuesta:
El derviche sacudió negativamente la cabeza. El segundo príncipe había errado, y fue, por consiguiente, invitado a dejar el salón.
Quedaba aún el tercer concursante, el príncipe Aradín.

Este, luego que el rey anunció la derrota del segundo pretendiente, se aproximó al trono, con los ojos vendados, y dijo en voz alta el color de su disco.
El sabio cordobés, dirigiéndose al calculista, le preguntó:
– Deseo saber cuál fue la respuesta del príncipe Aradín y cuál el razonamiento hecho por el príncipe, que lo llevó a resolver con seguridad el problema de los cinco discos”.

La solución en un próximo post.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Del coronel al soldado y viceversa: reparto de 28 caballos en 7 cuadras”.

Convertido ya en un clásico, su enunciado se acerca más a un relato de humor que a un problema matemático. Por hacer un breve recordatorio veamos los errores cometidos:

– El fallo más importante de la división propuesta por el coronel es empezar la operación por la derecha. A primera vista puede no parecer excéntrico si tenemos en cuenta que tanto la suma, como la resta o la multiplicación se inician precisamente por ese lado (derecho). Sin embargo, la división es la única de las ‘4 reglas’ que se hace por el lado opuesto (izquierdo). Además de la confusión que ya plantea lo dicho, se comienza por repartir la cifra de mayor orden entre la cifra del divisor. Un error que se repite en la comprobación final con una especie de ‘prueba del 9′, por llamarla de alguna forma, cuando procede a contar las patas de los caballos de la siguiente manera: hay 16 y como cada caballo tiene 4, divide 16 entre 4 para ver cuántos hay, ‘confirmando’ que cada cuadra contiene 13 caballos.

– En la ‘comprobación’ por el capitán de la multiplicación 13×7 se vuelve a cometer un error similar: colocar 1×7 bajo las unidades; aunque, para que hubiera salido bien, bastaría recordar que no eran 13 sino 1+3 lo que se multiplicaba por 7 y que a nadie debería sorprender.

– Pero quizás lo más ‘llamativo’, si algo pudiera ser más que lo dicho, es cuando el sargento realiza el cálculo de la suma colocando los siete 13 uno encima del otro y se dispone a ‘operar’ cometiendo de nuevo el mismo ‘error: suma siete veces 3, da 21, y añade siete veces 1 para aparecer los 28 caballos que eran los entregados.

En realidad se trata de un relato que pone de manifiesto cómo, tras la ‘ignorancia’ matemática, con la osadía se puede llegar a cualquier resultado por extraño que parezca. Algo que en un tono narrativo divertido ha convertido a este ‘problema’ en un ‘clásico’, que ha sido traducido a una gran cantidad de idiomas y por tanto de países.

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La sequía en España, los otros recursos hídricos

octubre 30, 2017

A finales de septiembre terminó, y lo hizo con cifras preocupantes, lo que en el argot científico se denomina ‘año hidrológico’, período que mide las precipitaciones habidas en los últimos 12 meses. Los resultados han sido malos, muy malos, los peores del último lustro. Se puede afirmar que la sequía y la falta de agua en los embalses superficiales se han instalado en España.

Antes de proseguir conviene aclarar como se determina una situación de sequía, algo que ocurre cuando durante un periodo de tiempo el valor de las precipitaciones es inferior a lo que se considera ‘normal’. En principio la causa inicial es la escasez de lluvias (sequía meteorológica), que a su vez provoca una insuficiencia de recursos hídricos (sequía hidrológica), justo lo que ha sucedido en el período que abarca desde el 1 de octubre de 2016 al 30 de septiembre de 2017. Según AEMET (Agencia Española de Meteorología) el año se ha cerrado con un valor medio de 550 litros/m2 para el conjunto de España, un 15 % inferior a la media histórica (‘normal’) del período 1981-2010 que está en 648 litros/m2. Y lo que es peor, al contrario que otras ocasiones, se ha notado en la mayoría de las cuencas de nuestro país. Basta observar los pantanos con sus embalses bajo mínimos o los cortes de agua obligados por una situación complicada. El nivel de reserva es tan bajo que han salido a la superficie pueblos que llevaban tiempo sumergidos bajo el agua. Con una primavera seca, muy seca, se ha llegado al extremo de que muchas regiones del Norte como Galicia, Asturias o Cantabria se han incorporado a la situación de déficit de lluvias, algo no habitual en comunidades que siempre han actuado de contrapeso. En realidad el problema no es de ahora, España lleva con un valor de las precipitaciones inferior a lo normal desde el año 2014, incidiendo de forma directa en la cantidad de agua embalsada y provocando que la sequía meteorológica desemboque sin remedio en una sequía hidrológica.

Una pregunta que mucha gente se hace, y con difícil respuesta, es: ¿Cada vez va a llover menos en nuestro país? A pesar de que los pantanos se encuentran al 39 % de su capacidad, el más bajo de la última década, los expertos señalan que las estadísticas no lo dicen todo. A decir verdad, en el año 2006 se registró un porcentaje menor y en los últimos 27 años (desde 1990) lo hizo en seis ocasiones; si bien en estos casos, amén del ‘cambio climático’ que cada vez tiene más importancia, tuvieron también incidencia, sobre todo en los años 90, las fuertes pérdidas en las redes de abastecimiento, mucho mayores que en la actualidad. Otro aspecto a considerar es que España siempre ha tenido un comportamiento cíclico con las sequías, pues ha habido temporadas largas de sequía (hasta dos lustros) que luego se han recuperado. Quizás lo más llamativo de la sequía actual es que ha afectado a zonas del Norte, incluso Centro y algo menos al Sur, motivo que tiene un poco desconcertados a algunos científicos de que pueda ser para siempre; es decir, que sea irreversible o no.

Situación del agua embalsada por cuencas a fecha 1ª semana de octubre 2017.

En la actualidad en casi todas las cuencas españolas existen áreas de clara preocupación por la sequía, aunque es preciso aclarar que para conocer el estado de una cuenca el dato del porcentaje de agua embalsada en los pantanos es solo uno de los indicadores. Pero no el único. Es muy común pensar que debajo del suelo no existe nada, que fuese impenetrable. ¡Como si no hubiera más recursos hídricos disponibles! Francisco Turrión, hidrogeólogo de la Confederación Hidrográfica del Segura, señala al respecto: “Evaluamos la sequía en función de los embalses superficiales y no contamos con el agua subterránea”. Y añade una interesante reflexión con datos que pueden sorprender a más de uno: “Si en estos momentos se preguntase por la situación de Mallorca, a pesar de que allí no existen embalses superficiales, se diría que sus recursos hídricos estarían al 80 %. No deja de ser curioso que cuando se traslada esa misma pregunta a la península, no se sabe muy bien por qué, no se refleja esa doble información y se hace únicamente referencia a la situación en nuestros pantanos”. Quizás se deba a la ‘tradición’ de nuestro país de una política hidráulica basada en construir embalses, presas, etc., con escasa o muy poca información o especialistas expertos en incluir la aportación debida a las aguas subterráneas. Sin embargo, en las Islas Baleares como no hay posibilidad de trasvases, ni tampoco construir embalses porque el terreno es muy poroso, ya se han acostumbrado y se abastecen y viven de las aguas subterráneas. A la vista de todo lo expuesto, parece lógico incidir en que cuando se analice la situación en la Península se deberían incluir los dos aspectos: los embalses superficiales (pantanos) que en la actualidad se encuentran al 39 % de su capacidad y los embalses subterráneos al 70 %, por indicar una cifra solo como ejemplo, Por tanto, se plantean algunas preguntas acerca de la política ‘tradicional’ que nos ha venido tan bien en todo este tiempo al permitir superar algunos déficits hídricos propios: ¿Podríamos decir que está obsoleta? ¿Habría que cambiarla y pensar en explotar más los acuíferos de otra manera? La respuesta es si y además utilizarlos de forma sostenible.

Pantano del Ebro. Torre de la antigua iglesia de Villanueva en las Rozas de Valdearroyo, pueblo cercano a Reinosa.

En general, los acuíferos tienen dos componentes: uno el agua embalsada y otro los recursos renovables; o lo que es lo mismo el agua que entra y sale. Se suele tener una idea equivocada al creer que todos los acuíferos desembocan en los ríos. En parte es cierto, pero también lo es que existe un flujo subterráneo, sobre todo en las cuencas mediterráneas que son calizas, porosas o con oquedades, que no pasa por los ríos, sino que va directamente al mar. Se trata de lo que en el argot técnico se denomina SGD (flujo subterráneo), que no es más que la descarga subterránea submarina y que en el Mediterráneo, según recientes estudios de investigadores del Instituto de Ciencia y Tecnología Ambientales del la Universidad Autónoma de Barcelona, está entre 1 y 15 veces el flujo fluvial. Así por ejemplo, señala Francisco Turrión, por cada río Segura o Júcar hay al menos otro o más (hasta 15) que está yendo al mar de forma subterránea. En concreto, en el plan hidrológico del Júcar se señala que van al mar de forma subterránea 535 hectómetros. Más que el trasvase Tajo-Segura.

Se conoce bien como se recarga un embalse superficial: ¡con la lluvia! Sin embargo, y aunque solo sea por mera curiosidad, una de las dudas que le surgen a la persona de la calle es como lo hacen el resto de los acuíferos. Si como parece la tendencia es que cada vez llueva menos en la península Ibérica se nos plantea un problema importante. Un problema de orden de magnitud. Y no solo en un tipo de acuífero, sino en todos ellos. Se suele pensar que los acuíferos son como pequeñas balsas que tienen agua, que en cuanto se utilicen lo normal es que se sequen. Sin embargo, el Instituto Geológico y Minero en diferentes estudios ha reflejado que la cuenca del Segura tiene 100.000 hectómetros embalsados, 100 veces más que los pantanos superficiales. Entonces… ¿cómo se recargan los distintos acuíferos? La respuesta es obvia: ¡también por la lluvia! Pero con un aspecto fundamental que no se suele tener en cuenta: ¡la normativa obliga a calcular lo que se conoce como las transferencias laterales! A los acuíferos no solo les llega el agua que les cae de encima, ni el agua de retorno de regadío, sino que del acuífero vecino también le está entrando lateralmente un flujo importante, a la vez que por si mismo está cediendo otra parte. ¡Y así hasta llegar al mar! Por tanto, se puede afirmar que en la mayoría de los casos no se ha cubicado bien su situación real. Por poner un ejemplo, es el caso de la cuenca del Segura, aunque si se ha tenido en cuenta en el plan hidrológico del Júcar.

Distribución y gestión de los distintos recursos hídricos.

Existe también una gran confusión sobre como son los acuíferos. Por hacer más descriptiva la explicación, en general se supone que se parecen a una piscina donde si se coloca la mano en el borde de un extremo y le faltan, por ejemplo, 20 cm. para llegar al agua, en el lado opuesto ocurrirá lo mismo. Pues bien, no es así. En la mayoría de ellos el agua funciona por presión. Así, si por ejemplo se hace un pozo a 300 m. de profundidad atravesando un material impermeable de rocas sedimentarias, pero a 1,70 m. se tropieza con una caliza con agua a presión, y esa caliza se mueve y se sitúa a 1,80 m. de la superficie, nos podemos hacer las siguientes preguntas con sus respuestas aclaratorias. ¿Donde se encuentra el acuífero?: a 1,70 m. ¿Donde se está tocando el agua?: a 1,80 m. Si entonces se bombea ese agua, lógicamente el nivel de 1,80 irá bajando situándose poco a poco a 1,81, 1,82,… 1,90… en una gráfica descendente si continúa la operación. ¿Quiere decir esto que se ha secado el acuífero? No. ¿Qué es lo que ha bajado? La presión ¿El acuífero donde se encuentra? A 300 m., profundidad inicial del pozo ¿Cómo está? Lleno. Lo único que ha ocurrido es que la presión con la que ascendía el agua la hacía llegar al inicio a 1,70, luego a 1,80 y sucesivamente bajando según se iba bombeando. Existe un error muy común en la interpretación de estas gráficas al pensar que su sentido descendente es similar al de un embalse. No es así: ¡el acuífero sigue lleno!, solo se debe a la presión con que sube el agua.

La situación de sequía no sería tan grave si se gestionaran bien los recursos hídricos disponibles. Es totalmente ficticio hacer una valoración solo en función de los embalses superficiales y no contabilizar o tener en cuenta el agua de los acuíferos subterráneos. Además se deberían utilizar todos de forma sostenible. ¿Por quien? Por el Estado que al ser el responsable de la gestión de los embalses superficiales debería serlo asimismo del agua subterránea. En un ejemplo real Francisco Turrión señala: “En el año 2004-2009 en la cuenca del Segura con una sequía como la actual se hizo una batería de pozos y gracias a ella se movilizaron 135 hectómetros, agua que se puso a disposición del río y las acequias y no hubo manifestaciones ni problemas. Ese sistema gestionó por tanto 135 hectómetros más. Esos pozos se hicieron hace 10 años. ¿Qué hubiera pasado si hubiéramos aprendido la lección y hecho más pozos? La respuesta parece evidente”.

Una de las mayores dificultades que siempre ha tenido la estructura hidrológica de nuestro país es su desigualdad. En España, hasta este año en que el tiempo de lluvia está siendo catastrófico en la mayoría de los sitios, cae suficiente agua (aunque lo suele hacer más en el Norte) para toda la península, pero se distribuye mal. Según lo reflejado en apartados anteriores, parece que explotar los acuíferos (subterráneos), además de ser más igualitario, permitiría desechar la idea de que el agua se reparte de manera poco entendible. Así como hay una parte de España mucho más húmeda, también existe otra distinta, más permeable, que curiosamente se encuentra en la parte oriental, próxima a la costa del Mediterráneo, y otras zonas impermeables que son precisamente las que tienen menos agua en sus acuíferos, salvo la cuenca del Duero y alguna otra como la parte fronteriza con Portugal. No se está hablando de coger el agua fluvial, el agua subterránea que se va a drenar del río, sino de hacer pozos a 300-400 m. de profundidad cementando la parte superior para de esa manera alcanzar el flujo subterráneo (SGB) que estamos perdiendo o  tirando al mar. No se trata de ninguna teoría; como se ha dicho: se ha hecho y se ha comprobado. Afirma el profesor Turrión: “Cuando medimos el nivel de agua en esos pozos, en esos embalses subterráneos que tienen agua a presión, vemos que a lo largo de los últimos 40 años no han variado. Por tanto tenemos ese potencial para compaginarlo con las aguas superficiales de los pantanos y con las aguas desaladas. Es decir, en la cuenca del Segura se podría ser perfectamente autosuficiente utilizando el agua desalada y las aguas subterráneas de los acuíferos inferiores”.

Evolución media anual de la capacidad de los en España. Período 1990-2017.

Aunque estén relacionados, la escasez de agua y la sequía son fenómenos diferentes, que además se pueden agravar en función de su impacto individual. La escasez se produce donde no hay suficientes recursos hídricos disponibles para satisfacer las demandas de agua a medio o largo plazo y la sequía se considera como una disminución temporal de la disponibilidad de agua por falta de precipitaciones. El año hidrológico 2017 (1 octubre-30 septiembre) ha concluido con un 14 por ciento menos de lluvia de lo ‘normal’ agudizando la situación de sequía en toda España. Es hora de empezar a hablar de los embalses subterráneos como una fuente más a utilizar. Un recurso que nunca se ha tenido en cuenta en los datos aportados y mucho menos lo que supondría su explotación de manera sostenible cuando se habla de sequía.


Del coronel al soldado y viceversa: reparto de 28 caballos en 7 cuadras

septiembre 11, 2017

Se trata de un ‘problema’ matemático lleno de sorpresas a medida que va pasando por el escalafón militar de un cuartel. A primera vista, la ‘operación’ no parece tener sentido y pudiera… ser así. Aunque no es de profundidad, matemática se entiende, encierra mucho humor incluso hasta su desenlace. El país, lugar y situación donde transcurre es lo de menos. En nuestro caso lo hemos adaptado a la historia contada aquí con mucha gracia que comienza con la socorrida frase… “Érase una vez…”. A esta sección conviene ponerle un poco de humor de vez en cuando y este ‘problema’ cumple los requisitos. ¡Al final todo cuadra! Dice así:

“Érase una vez…, hace mucho tiempo, el coronel de un regimiento recibe un mensaje comunicándole que muy pronto le llegarían los caballos por él solicitados.
Al cabo de unos días un joven soldado se acerca al cuartel con 28 caballos. Previa parada en la entrada, donde muestra su credencial, el centinela del puesto se lo comunica al cabo de guardia, que le acompaña al despacho del sargento al que, tras pedirle permiso para entrar, se presenta con el saludo correspondiente:

– A sus órdenes mi sargento. Traigo conmigo los 28 caballos solicitados por este regimiento. Están amarrados y en estado de revista a la entrada del cuartel.
– Bien, soldado. Los estábamos esperando. Llévalos al patio y repártelos adecuadamente en las siete cuadras iguales que hay en él.
– Lo haría con gusto mi sargento, pero tengo un problema para cumplir su orden: no sé cómo hacerlo, soy analfabeto y de números sólo sé contar con los dedos, y nada más.

El sargento, se rascó la cabeza bajo la gorra, torciendo el gesto.
– Es el caso, soldado, que aunque yo sí entiendo de cuentas, sólo sé sumar, algo que me enseñó a hacer el capitán, y esa operación requiere otros conocimientos superiores. Ve a su despacho y que él te resuelva el problema.

El soldado se presentó de igual manera al capitán, quién le dijo que él, enseñado a su vez por el coronel, aparte de sumar y restar, sólo alcanzaba a multiplicar, operación muy útil, pero insuficiente para la complejidad de aquel problema. Por ello, lo envía al coronel para quién las matemáticas no tenían secreto alguno ya que incluso sabía dividir.

Tras solicitar su permiso, entra en su despacho, donde le pone al corriente de las diligencias hechas con sus subordinados. El coronel se retrepó entonces en la silla sonriendo con suficiencia.
– No te apures soldado, estás de suerte puesto que además de ser la máxima autoridad del regimiento, soy el único que domina con soltura la difícil operación de dividir necesaria para este menester, así que yo te diré cuantos caballos has de meter en cada cuadra para que queden equitativamente repartidos.

Dicho esto, cogió papel y lápiz y se puso a la tarea. Escribió, como debe ser, el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha encerrado en su caja y, entre dientes, razonó:
– Dos entre siete, no cabe, por tanto cojo el ocho, que sí cabe.
Ocho entre siete, a uno. Uno por siete, siete. De siete a ocho, uno y me bajo el dos, lo que nos da veintiuno, que entre siete son tres. Como el resto es cero, el resultando de la división es exactamente trece.
– Ese es el número de caballos que has de meter en cada cuadra. Ve, hazlo y después di al sargento que te den vino, un chusco y un catre donde descansar. Puedes retirarte.
– A las órdenes de usía mi coronel- se despidió el soldado con un marcial taconazo.

Al pasar por la puerta del despacho del capitán éste le llamó interesándose por el resultado del problema, deseando impresionar con sus habilidades matemáticas al soldado.
– Si el coronel te ha dicho que son 13 los caballos que debes encerrar en cada cuadra así será. No obstante, no estará de más que yo lo compruebe para asegurarnos de que esté bien hecha. Si multiplicamos los trece caballos que has de meter en cada cuadra por el número de éstas, o sea, siete, forzosamente nos han de salir los veintiocho que traes. Veamos pues.
Con no menos pericia que el coronel, fue recitando los pasos de la delicada operación.
– Siete por uno, son siete. Vamos con el otro. Siete por tres, veintiuno, que sumado al siete de antes, hacen veintiocho. Justo y cabal, soldado. El coronel, como siempre, está en lo cierto. Cumple pues su orden.

Tal y como le había ordenado el coronel, el joven se dirigió al despacho del sargento, más no le hizo falta entrar pues antes de llegar a la puerta ya salió aquel a su encuentro ansioso por poner en práctica su dominio de la suma e impresionar también al soldado. Una vez que hubo conocido el resultado obtenido por el jefe y avalado por el oficial, dijo:
– Si el coronel y el capitán han calculado que debes meter trece caballos en cada cuadra así habrá de ser, pero por asegurarnos y también porque veas la utilidad de la suma que, al fin y al cabo, no deja de ser una multiplicación más trabajada, pasa y observa como hago la comprobación para que vayas sabiendo de cuentas, por si con los años medras en la milicia y llegas a ser clase de tropa o hasta suboficial, como yo.

Dicho lo cual, sacó lápiz y papel y dispuso, como debe ser en una suma bien hecha, los siete treces en una columna para después, sin encomendarse a Dios ni al diablo y sin hacer distingos entre izquierda, derecha, arriba o abajo, sumar de corrido sin dejar ni uno todos los números que tenía delante.
– Así que tenemos… uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres… que hacen en total de… Mmmm… ¡Veintiocho!
– ¿Ves, como las matemáticas nunca fallan? Mete tranquilo las trece bestias por cuadra y ven después a que te facilite acomodo para que pases la noche./strong>

El soldado llevó los caballos hasta los establos, abrió las puertas de aquellos reducidos espacios y contándolos con cuidado para no equivocarse empezó a introducirlos una a uno.
– Uuuno, dooos, treees, cuaaaatro, ciiinco, seeeis… Hasta seis llegaron a entrar; y ni uno más, pues los animales, espantados al verse hacinados en aquel cubículo desconocido y oscuro, organizaron tal barahúnda de coces, relinchos y mordiscos que las paredes de la cuadra amenazaban con quebrarse. El joven, asustado, los hizo salir de nuevo, calmándolos después como pudo.
– Veamos: tres hombres sabios no pueden estar equivocados y las matemáticas esas, de las que tan bien hablan todos, tampoco -se dijo-. Piensa, Rufino-que así se llamaba el soldado-, y cumple bien la orden que te han dado si es que quieres hacer carrera en la milicia.
– Trece, trece, trece…-repetía angustiado para sí-. Recordó haber visto escrito aquel número en todas las operaciones: Trece. Y de golpe, una luz iluminó su entendimiento. ¿Qué es un trece sino un uno y un tres?
Esperanzado, metió en la primera cuadra un caballo atravesado al fondo y tres perpendiculares a él en la parte delantera. Un uno y un tres. O sea, un trece. Trece caballos cómodamente ubicados. Cerró la puerta y repitió la misma operación en las otras seis cuadras, comprobando aliviado que no sobraba ni faltaba ninguno.

Mas poco duró la tranquilidad al bueno de Rufino pues el coronel, alarmado por el alboroto que se había organizado hacía un momento, bajó a ver qué sucedía.
– No se preocupe, mi coronel, que consciente de mi error lo he enmendado y cada cuadra está ocupada por los trece caballos que usía indicó. Ahora duermen tranquilos en ellas.
– Eso parece, soldado, pero ya que he bajado, quiero comprobar que lo que dices es cierto. Abre las cuadras y contemos los animales que pernoctan en ellas.
– Es el caso, mi coronel, que ya están cerradas con llave y además los caballos han hecho un largo viaje. Es lástima que haya que despertarlos.
– Razón llevas muchacho, más no hará falta tal cosa puesto que por suerte yo estoy aquí y con una simple división podremos contar los equinos sin necesidad de abrir ninguna puerta. Échate al suelo y por el hueco que hay bajo una de ellas cuenta las patas que veas.
El soldado obedeció al instante y, no sin trabajo, las contó.
– Cabalmente, cuento dieciséis, mi coronel.
– Bien, pues dividamos dieciséis por las cuatro patas que tiene un caballo y el resultado nos dará el número de ellos que hay dentro.

A falta de papel y lápiz, el coronel se agachó y con el dedo en la tierra del suelo hizo la consabida cuenta que recitó también en voz alta para que lo viera el ignorante soldado.
– Uno entre cuatro, no cabe, pasemos pues al seis. Seis entre cuatro, a uno; uno por cuatro es cuatro; cuatro a seis, dos y me bajo el uno. Doce entre cuatro, tres. Tres por cuatro, doce, al doce, cero. Podemos dormir tranquilos, muchacho, y jurar ante Dios que trece, ni uno más ni uno menos, son los caballos que ahora mismo duermen en cada cuadra.

Y ahora, querido lector, ¿no crees que la Matemática, además de ciencia exacta, puede ser benévola con la ignorancia y también dejar lugar para la fantasía? En realidad es un chiste matemático más que un problema en sí. Seguro que uno enseguida se da cuenta de que los números no cuadran O eso esperamos. De ahí la pregunta, aunque sea muy fácil: ¿donde se encuentran los errores y los aciertos en las respuestas de la cadena de mando?: ¡Desde el coronel al soldado!

Ver solución en “Los cinco discos y la inteligencia racional”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Elección de cartas, un problema sencillo en un difícil contexto”

La solución correcta pasa por “darle vuelta a dos cartas: la que muestra un 8 y la que tiene el reverso marrón”. ¿Por qué? ¡Sólo una carta con número par y un color que no sea el rojo puede invalidar la proposición! Es decir, si le damos la vuelta a la carta con el 3, da igual que el reverso sea rojo o marrón: ¡esto no la anula! Lo mismo ocurre con la carta roja: ¡da igual que la otra cara sea par o impar! Sin embargo, si la carta con el 8 tiene el reverso marrón o la carta marrón tiene una cara con un número par: ¡la regla no se cumple! Así de fácil y al mismo tiempo así de complicado: ¡solo se cumple cuando le damos vuelta a las cartas citadas!

Un problema de lógica sencillo, que muy pocos (10 %) aciertan a la primera, que sigue desconcertando a los psicólogos tras más de 50 años y donde el contexto es una parte muy importante. Las personas pretendemos razonar de forma analítica, pero muchas veces nuestras decisiones no siguen una línea racional. En un próximo post trataremos de explicar por qué nuestro cerebro tiende a operar de esta manera.


La selección de Wason, el razonamiento y las emociones

agosto 29, 2017

En un post anterior hicimos mención a la diferencia que existe a la hora de tomar decisiones entre lo que nos ‘sugiere’ nuestra parte analítica, razonamiento o forma de pensar, y lo que muchas veces, según el contexto, nos impulsan a realizar las emociones e intuiciones. Poníamos como ejemplo un problema sencillo que en un primer intento nos conduce por diferentes caminos casi siempre equivocados. Señalada en 1966 por Peter Cathcart Wason, psicólogo cognitivo inglés, en uno de los rompecabezas más conocidos de la historia, se trata de una forma de pensar, y luego decidir, que lleva desconcertando a los psicólogos desde hace más de 50 años. A continuación se refleja una de sus versiones clásicas:

“Encima de una mesa se muestran cuatro cartas que tienen un número en un lado y un color en el otro. Sus caras visibles son 3, 8, rojo y marrón tal y como se ve en la figura.
Se establece que si una carta muestra un número par un lado, la cara opuesta debe ser roja. La pregunta es: ¿A qué dos cartas se debería dar vuelta para comprobar la veracidad de la proposición anterior?
Nota.-
Tanto una respuesta que identifica una carta a la que no es necesario dar vuelta o que no lo hace con una carta a invertir son incorrectas”.

Como ya vimos, “la solución correcta pasaba por darle vuelta a dos cartas: la que muestra un 8 y la que tiene el reverso marrón”. ¿Por qué? ¡Sólo una carta con número par y un color que no sea el rojo puede invalidar la proposición! Es decir, si le damos vuelta a la carta con el 3, da igual que el reverso sea rojo o marrón: ¡esto no la anula! Lo mismo ocurre con la carta roja: ¡da igual que la otra cara sea par o impar! Sin embargo, si la carta con el 8 tiene el reverso marrón o la carta marrón tiene una cara con un número par: ¡la regla no se cumple! Así de fácil y al mismo tiempo así de complicado: ¡solo se cumple cuando le damos vuelta a las cartas citadas!

Parece ser que cuando Wason realizó su prueba tan solo un 10 % de los participantes acertaron a la primera. En honor a su autor a partir de entonces se empezó a conocer como la ‘tarea de la selección de Wason’. Daniel Kahneman, entre otros, uno de los pensadores más importantes del mundo, premio Nobel de Economía, la hizo popular al relacionarla con el llamado ‘proceso dual’ o ‘doble proceso’ que ocurre cuando el enunciado, según que palabras se usen, puede hacer pensar con uno u otro de los dos sistemas cognitivos que normalmente utilizamos.

Antes de proseguir con otro ejemplo que apoye estas connotaciones conviene hacer una breve referencia al razonamiento, concepto definido como una manera de pensar relacionada con la forma de expresión, en especial con el lenguaje escrito. Dicho de otra forma, partiendo de unas bases o premisas: “razonar es pensar con un cierto orden” para llegar a una conclusión. Existen dos tipos:
a) Razonamiento deductivo (también llamado ‘lógico’) que es aquel en que las conclusiones no aumentan la información de las premisas al estar incluidas implícitamente en ellas. Su validez afecta solo a la forma de ‘razonar’. Es decir, si las premisas son válidas, la información inicial también y además suficiente para llegar a la respuesta correcta. Por ejemplo, si se señala:
“Si voy a la piscina esta mañana comeremos juntos”, podemos afirmar que: ”Voy a la piscina esta mañana… por lo tanto comeremos juntos”.
b) Razonamiento inductivo (clásico de las materias científicas) donde por lo general las conclusiones suponen un incremento de la información dada; sin embargo, la manera de razonar no supone una necesidad ‘lógica’. En función del apoyo empírico con que se cuente, su ‘veracidad’ es solo ‘probable’. Se puede obtener nueva información pero no de forma categórica como en el razonamiento deductivo.

En 1982, dos psicólogos de la Universidad de Florida, Richard Griggs y James Cox, reformularon el acertijo de Wason al… ¡estar convencidos de que la dificultad estriba en su redacción! Para ello pidieron a sus interlocutores que imaginasen un experimento en el que fuesen… “policías en un bar buscando a menores de edad que estuviesen consumiendo alcohol en el local”. En ese contexto queda claro desde el principio que: “en el bar hay gente bebiendo, gente que no bebe, gente menor y gente adulta”. Y por tanto también el tipo de pregunta y a que grupo o grupos se debe interrogar para hacer bien el trabajo a la primera: ¡A todos los menores por si están bebiendo alcohol y a todos los que están bebiendo alcohol por si son menores! Fue entonces cuando se pudo comprobar como en un acertijo similar al planteado en la selección de Wason la mayoría acierta a la primera (el 75% de los participantes respondieron correctamente). Se trata pues de un mismo ‘desafío’, pero ‘percibido’ de manera muy distinta, que lleva a la conclusión de la importancia de razonar en función no solo de la estructura sino también del contenido o contexto. A pesar de que el reto sea el mismo, la manera de ‘vestirlo’ determina la dificultad del problema . En este caso la regla de partida deja de ser abstracta, como sucede con los números y colores de las cartas del primer ejemplo, pasando a ser totalmente social.

Años más tarde, en 1993, otro grupo de psicólogos volvió a realizar una prueba parecida a la original de Wason. El porcentaje de aciertos y errores se siguió moviendo en la misma línea (10 % y 90 %) desconcertando de nuevo a todos. Hasta el punto que, siendo un problema sencillo, confirmó que engaña a nuestra mente y manera de pensar. Tras diversos ‘experimentos’ se llegó a la siguiente conclusión: si la tarea de Wason se presenta como un acertijo lógico fuera de un contexto determinado los resultados suelen ser poco alentadores. Distintas teorías han intentado explicar el por qué se falla tanto cuando se ‘ataca’ por primera vez. Algunas ponen el enfoque en que su dificultad se debe a la estructura lógica de nuestras reglas, aunque hay quienes insisten que son las palabras con que se presenta la causa del error. De ahí que cuando se hace en un contexto como el de las relaciones sociales sea más fácil de resolver. Un buen ejemplo es el expuesto anteriormente sobre como probar la regla de: “Solo se permite tomar bebidas alcohólicas a los mayores de 18 años”. Son muy pocos los que tienen dificultad para seleccionar las personas a controlar: “Los menores de 18 años y que tomen alcohol”.

Ahora bien si siendo como es la misma estructura lógica: ¿Por qué importan tanto las palabras? Daniel Kahneman, al que hemos citado al principio, en su libro “Pensar rápido, pensar despacio” en el año 2011 hizo popular la teoría del ‘proceso dual’ o ‘doble proceso’. En él explica los dos sistemas que modelan cómo pensamos. El sistema antiguo o ‘Sistema 1’: “rápido, intuitivo y emocional”, y el ‘Sistema 2’: “más lento, deliberativo y lógico”. Ante cualquier problema ambos luchan por imponerse. En el caso de la tarea de selección de Wason queda claro que suele ganar el sistema antiguo, que utiliza atajos mentales como el llamado “sesgo de emparejamiento o correlación” para lograr antes lo que cree que es la solución correcta.

En una tarea ‘abstracta’ la explicación mas coherente a los resultados es la señalada por J. Evans, J. y J.S Lynch en ‘Matching bias in the selection task. British Journal of Psychology’ (1973), donde postulan la existencia del “sesgo de emparejamiento” (‘matching bias’) que significa que “los interlocutores seleccionan las cartas o tarjetas que aparecen citadas en las frases o contexto del problema”. Ocurre lo mismo cuando se niega el consecuente en el enunciado. En general, “tendemos a escoger como respuesta aquellos elementos que aparecen en el planteamiento”. Y no es casual que en nuestro primer ejemplo la mayoría elija dar la vuelta a la carta “8” (que es lo correcto) y también a la carta “roja” (que no lo es), pues el enunciado señala “número par” y “rojo”. Sin embargo, dar la vuelta a la carta “roja” no tiene lógica, porque descubrir un número par en la otra cara no ‘viola’ la regla como ya explicamos en su solución. Pero nuestro cerebro, ‘cerebro rápido’, nos ‘dice’, casi nos obliga a creer, que se trata de una buena idea. ‘Dirige’ nuestro pensamiento y conducta hacia su gran capacidad (también los errores y los sesgos), así como a la indudable influencia de las impresiones intuitivas.

Pero si no es racional entonces… ¿por qué lo hacemos? Parece que porque… “es rápido y uno se siente bien”. En contraste en el nuevo sistema el razonamiento abstracto (que es el que necesitamos) es difícil. Allí donde pueda permite que el viejo, muchas veces sin darse cuenta, guíe sus decisiones. De ahí que Kahneman señale que “una de sus principales características es la pereza”. Algo que no se da en el ejemplo del bar y menores de 18 años bebiendo porque el sistema antiguo está ‘acostumbrado’ a la ley que prohíbe el consumo de alcohol y la edad mínima legal para beber, conocimiento que nos sirve para resolver el acertijo sin mucho esfuerzo pues… ¡enseguida detectamos, y por tanto razonamos, quien ha incumplido una norma ‘social’!

El razonamiento y las emociones han sido y son una materia muy estudiada. Hasta no hace mucho se creía que eran independientes. Investigaciones recientes parecen indicar que están relacionados. Además la emoción casi siempre precede a la razón. Primero sentimos las cosas, luego la información llega a la razón que la devuelve, formando al final una especie de circuito retroalimentado. Uno de los elementos participantes en este recorrido es la intuición. Considerada a menudo como un tipo de información que viene no se sabe muy bien de dónde (como un sexto sentido) nos conduce por caminos que poco tienen de racionales. Sin embargo, en la actualidad algunos investigadores no están de acuerdo con esta idea y creen que se trata de una importante herramienta a la hora de tomar decisiones si se sabe utilizar correctamente. Piensan que la intuición, bien utilizada, puede ser una fuente de información que conecte el razonamiento y las emociones. Eso si, es necesario entrenarla.

El conocimiento es información adquirida y el razonamiento la capacidad de ordenar ideas para llegar a una conclusión. ¿Son incompatibles? No siempre. “Aprender a razonar o desarrollar la inteligencia emocional puede ayudar, y mucho”. ¿Somos los seres humanos realmente racionales? ¿Utilizamos la lógica en la resolución de problemas? Se puede afirmar que “la selección de Wason es un problema sencillo en un difícil contexto” y uno de los fenómenos más controvertidos en el ámbito de la teoría del razonamiento. El impacto de sus resultados fue enorme dando lugar a una amplia variedad de teorías y enfoques alternativos. Aún hoy sigue siendo objeto de debate y discusión: “Pensar en lo verdadero para seleccionar lo falso”.

 


Elección de cartas, un problema sencillo en difícil contexto

junio 30, 2017

Un problema de lógica, sencillo, que pocas personas suelen acertar en su intento inicial. Hasta el punto de llevar desconcertando a los psicólogos desde hace más de 50 años. El primero que planteó este acertijo o puzzle (se han hecho diversas versiones, todas muy parecidas) fue el psicólogo británico Wason. En apariencia parece fácil; sin embargo, según el contexto muchas veces nos desvía de la dirección adecuada. Sirve para explicar como nuestra manera de pensar depende en buena medida del entorno en que se realice. En un próximo post referiremos como, en ocasiones, las personas pretenden razonar de forma analítica, pero luego sus decisiones no siguen una línea racional.

A continuación una de las versiones más clásicas del problema. Dice así:

wason-02Encima de una mesa se muestran cuatro cartas que tienen un número en una de sus caras y un color en la otra. Sus caras visibles son 3, 8, rojo y marrón tal y como se ve en la figura.

Se establece que si una carta muestra un número par por un lado, entonces la cara opuesta debe ser roja. La pregunta es: ¿A qué dos cartas se debería dar la vuelta para comprobar la veracidad de la proposición anterior?

Nota.-
Tanto una respuesta que identifica una carta a la que no es necesario dar la vuelta o que no lo hace con una carta a invertir son incorrectas.

Ver solución en “Del coronel al soldado y viceversa: reparto de 28 caballos en 7 cuadras”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “El cuadrado, el triángulo, su área y las apariencias”

Lo único que se necesita saber o recordar para su resolución es que el área del triángulo es la mitad del producto de su base por la altura. Algo que todos conocemos sin mayor esfuerzo.

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Cada uno de los dos triángulos de la figura 1 tiene uno sus lados coincidentes con un lado del cuadrado y su vértice en el lado opuesto del mismo, lo cual significa que su altura es también igual al lado del cuadrado. Por tanto el área de cada triángulo será igual a la mitad del área del cuadrado (base por altura dividida por 2). Y por la misma razón, todo lo que no está incluido o forma parte del área de cada triángulo es también igual la mitad del área del cuadrado.

Si nos fijamos de nuevo en la figura 1 se puede observar que los sectores señalados con un punto rojo no forman parte del triángulo vertical, por lo que en base a la proposición anterior la suma de sus áreas será justo la mitad del área del cuadrado. Además, la suma de los sectores señalados con un punto verde coincidirá con el área del triángulo en posición horizontal, equivalente a su vez a la mitad del área del cuadrado, y por tanto igual a la suma de los sectores señalados con un punto rojo.

Dicho todo esto, como existen dos sectores que tienen puntos rojos y verdes simultáneamente, se puede deducir que el área del único sector que tiene solo un punto verde (f) tiene que ser igual a la suma del resto que solo tienen un punto rojo para mantener la igualdad citada (b+c+d).

O de una manera más gráfica para aquellos que el seguimiento del lenguaje utilizado les pueda resultar enrevesado, si denominamos con letras a las distintas áreas que intervienen:

a+b+c+d+e= suma áreas sectores punto rojo= suma sectores no pertenecientes al área triángulo vertical= mitad del área del cuadrado.
a+f+c= suma áreas sectores punto verde= área triángulo horizontal= mitad área del cuadrado.

Por tanto: a+b+c+d+e= a+f+c
O lo que es lo mismo: b+d+e=f

Que responde a la pregunta del problema: ¿Cual de las dos áreas es mayor? ¿El área donde se superponen los dos triángulos o el área que no pertenece a ninguno de ellos?, y cuya conclusión es: ¡las dos áreas son iguales!


El cuadrado, el triángulo, su área y las apariencias

abril 27, 2017

Un problema más para pensar de forma un poco diferente a la ‘habitual’. Eso que se ha dado en denominar, de manera un tanto coloquial: “pensamiento lateral”. En esta ocasión ni siquiera necesita cálculos, solo recordar las nociones más básicas de geometría relacionadas con el área del cuadrado y el triángulo. Planteado por Adrián Paenza, conocido divulgador matemático argentino, requiere mantener la mente abierta a cualquier supuesto. Dice así:

“En la Figura 1 se muestra un cuadrado que tiene inscritos dos triángulos que tienen uno de sus lados coincidentes con uno de los lados del cuadrado. Uno de ellos con su lado izquierdo y el otro en la base inferior. O lo que es lo mismo, cada triángulo tiene dos vértices coincidentes con dos vértices del cuadrado, estando ubicado el tercero en cualquier punto del lado opuesto del mismo.

Asimismo, se puede apreciar como los dos triángulos entre sí se cortan formando un área común o superpuesta tal y como se ve en color en la Figura 2. Y también un área que no pertenece a ninguno de ellos como se indica en la Figura 3.

La pregunta es: ¿Cual de las dos áreas es mayor? ¿El área donde se superponen los dos triángulos o el área que no pertenece a ninguno de ellos?”

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Ver solución en “Elección de cartas, un problema sencillo en difícil contexto”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “El truelo y una extraña paradoja”

En su enunciado ya comentamos que su solución encerraba una extraña paradoja. Y ésta no es otra, contra lo que pudiera parecer, que según la teoría de probabilidades lo mejor para el tirador A es que haga su primer disparo… al aire.

A continuación le llegaría el turno al tirador B que por lógica debería hacerlo contra el tirador C. Se trata del contrario más peligroso y tiene claro que si falla, C, que es un tirador perfecto (100 %), le devolvería el disparo y lo eliminaría en el siguiente turno. Tampoco debemos olvidar que B es más certero (67 %) que A (33 %) y, de no hacerlo así, truelo-01sería más arriesgado pues la siguiente ronda sería ya un duelo tradicional. Por otro lado también queda claro que cualquier resultado que se de en el duelo entre B y C su consecuencia es que uno de los dos habrá ‘desaparecido’ antes de que se inicie el siguiente turno para A.

De esta manera se puede afirmar que el tirador A consigue dos cosas:
1) Además de ser el primer tirador en el ‘truelo a tres’ que lo sea también en el ‘duelo a dos’.
2) Sus probabilidades de vencer aumentan ya que no sería contra dos contrarios sino contra solo uno.

Se puede concluir diciendo que el ‘truelo’ desemboca en la extraña paradoja de que el jugador con peor puntería al final sea quien tenga más probabilidades de ganar, pues los otros dos contendientes tenderán a dispararse entre sí cuando les llegue su turno, y por tanto la mejor opción para el tirador A es… realizar el primer disparo… al aire.


El truelo y una extraña paradoja

marzo 3, 2017

Estamos familiarizados con la palabra ‘duelo’ para aludir a un reto o combate dialéctico o de otro tipo entre dos equipos o personas, pero no así con ‘truelo’ cuando nos referimos al enfrentamiento entre tres partes. Pues bien, este es el caso a continuación planteado:

sin-titulo-1“Supongamos un truelo entre tres contendientes (A, B, C), en el que ganar significa eliminar a las otras dos, situadas en los vértices de un triángulo equilátero como muestra la figura.

Se sabe que cada vez que tira A acierta el 33 % de las veces (una de cada tres), B lo hace el 66 % (dos de cada 3), y la puntería de C es infalible (acierta siempre).

Las condiciones del truelo consisten en que cada uno tire una vez empezando por A (es la ventaja que han acordado al ser el peor tirador), luego lo hará B (por ser el segundo peor) y finalmente C. Este orden se mantendrá siempre, es decir: primero A, luego B y después C.

¿Cuál sería la mejor estrategia para A como primer tirador? ¿Disparar primero a B? ¿Hacerlo con C? ¿Otra alternativa?”

Se trata de un problema que encierra una extraña paradoja y una cierta contradicción con lo que en principio se pudiera pensar. Ejemplos de truelos conocidos los tenemos en el cine, como en la película de “El bueno, el feo y el malo” donde los tres protagonistas: el ‘bueno’, un cazarrecompensas y un asesino a sueldo se disputan un botín de 100000 dólares que se encuentra enterrado en la tumba de un cementerio. También se dan cita en la vida real como la confrontación entre serbios, croatas y bosnios en la guerra de la antigua Yugoslavia.

Ver solución en “El cuadrado, el triángulo, su área y las apariencias”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “La rutina y la velocidad y las consecuencias de un cambio”

En primer lugar con los datos disponibles se puede afirmar que el marido y la mujer (que sale de su casa siempre a la misma hora) llegan a casa 10 minutos antes de lo habitual. Por tanto la mujer necesitó conducir 10 minutos menos que en un día normal. Es decir, 5 minutos menos en el viaje de ida y otros 5 en el de vuelta.

reloj-02Por otro lado, si la mujer recoge siempre a su marido a las 5 de la tarde y en esta ocasión lo hace 5 minutos antes, quiere decir que se encuentran a las 4 h. 55 minutos. Si además tenemos en cuenta que el marido comienza a caminar a las 4 de la tarde (su tren ha llegado 1 hora antes de lo previsto) podemos concluir diciendo:

“El marido ha estado caminando durante 55 minutos” (desde la 4h. a las 4 h. 55’)

Como se puede ver se trata de un problema sencillo… cuando se conoce la solución, que puede parecer complicado por la aparente falta de datos. En estos casos se hace necesario acostumbrar a nuestra mente a practicar el ‘pensamiento lateral’ del que ya hemos hablado otras veces.