Rectángulos, áreas y geometría

junio 7, 2021

En un post anterior se planteó un problema del matemático Ed Southall, profesor de la Universidad de Huddersfield (Inglaterra), para el que no se requerían muchos conocimientos de geometría. Fue todo un reto que se hizo viral en la red social Twitter, en consonancia con la filosofía de su libro ‘Geometry Snacks’ que resume como:

“Se trata de un libro en el que se dan al menos dos enfoques para la misma respuesta. El propósito es resaltar que hay múltiples vías disponibles y que son todas válidas y de igual valor. Cuando enseñamos Matemáticas muchas veces promovemos nuestra solución sin explorar ninguna otra. Para mí hay una gran riqueza en la exploración de los diferentes enfoques. Hace que todos los métodos se sientan válidos, por lo que si un alumno lo ha hecho de otra manera, aún puede sentir la tranquilidad de haberlo hecho bien, mientras que lo que sucede a menudo es que si obtuvieron la respuesta correcta de una manera diferente a la de su maestro, sienten que su método es inferior”.

En esa línea, Mikael Sundqvist propone el siguiente problema para el que no se proporciona ningún dato (ni medidas, ni ángulos) porque… no son necesarios. Dice así:

¿Cuál de los dos rectángulos de la figura tiene mayor área?

La solución en un próximo post.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Un problema de triángulos y la capacidad visual”.

La respuesta es 18 triángulos.

Si se observa la figura existen 3 grupos de triángulos (Grupos 1, 2 y 3), cada uno formado por 6 triángulos distintos lo que hace un total de 18.


Historia y curiosidades de algunos números: el número ‘fi’ (φ)

mayo 17, 2021

Siguiendo con la historia y curiosidades de algunos números, en esta ocasión se hace referencia al número φ o Φ (número áureo o de Fibonacci), llamado así en honor del escultor griego Fidias, autor de grandes obras como el Partenón de Atenas.

El número φ es un número irracional cuyo valor es 1,6180339887498948482… A lo largo del tiempo ha sido objeto de estudio por matemáticos ilustres. Conviene remontarse a Leonardo de Pisa (1170-1250), Fibonacci, nombre por el que también se conoce al número φ, uno de los matemáticos más notables de la Edad Media. Con poco más de 30 años publicó su gran obra ‘Liber Abaci’ (‘Libro del Ábaco’) (1202), una revolución en el campo de las Matemáticas. Se hizo famoso en toda Europa por difundir el actual sistema numérico (indo-arábigo), que utiliza la base 10 o decimal cuando todavía se funcionaba con los numerales romanos y el ábaco. Aunque no llegó a conocer su trascendencia, ni que su nombre quedaría unido a la solución, una de las aportaciones de la que derivó el número φ fue la denominada sucesión de Fibonacci, resultado de uno de los muchos problemas planteados en su libro. Su enunciado, traducido al lenguaje actual, decía: “Supongamos que tenemos una pareja de conejos recién nacidos, macho y hembra, juntos en un sitio cerrado, y que tardan un mes en alcanzar la edad fértil. Alcanzada ésta engendrarán una pareja de conejos cada mes, que a su vez, tras ser fértiles, engendrarán cada mes otras parejas. Y así sucesivamente…” O dicho de forma más entendible: “A partir del segundo mes de vida, cada pareja de conejos dará origen cada mes a una nueva pareja”. Fibonacci planteó la siguiente pregunta: ¿Cuántos parejas de conejos habrá en un momento determinado? La solución es una sucesión numérica cuyos primeros términos responden a la siguiente secuencia mensual: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,… cuya característica es que cada término es igual a la suma de los dos anteriores.

Una de las propiedades más interesantes de la sucesión de Fibonacci, apuntada por los renacentistas, y más tarde por el astrónomo Kepler, es la siguiente: “Si vamos dividiendo entre si los números de Fibonacci consecutivos en sentido ascendente, su cociente se acerca al valor del número φ: 1,618033… (1/2 (√5-1))”. Veámoslo: 1/1 = 1, 2/1=1, 3/2=1,5, 5/3=1,66, 8/5=1,60, 13/8=1,625, 21/13=1,6153,… De ahí que al número φ se le conozca como número de Fibonacci en su honor. Un número irracional descubierto en la antigüedad no solo como una ‘unidad’ en las composiciones líricas, sino también como una relación o proporción encontrada tanto en figuras geométricas como en la naturaleza y otros campos. Se descubrió que la fórmula que describía la relación entre cada uno de los números de la sucesión (1/2 (√5-1)) lo hacía asimismo en la estructura de aquellos elementos naturales que formaban una espiral denominada ‘espiral de Fibonacci’. A los objetos que siguen la constante del número φ se les han atribuido propiedades estéticas especiales y hasta importancia mística. Así, por ejemplo, los botánicos pronto descubrieron que aquellas plantas cuyos pétalos o tallos eran en espiral se ajustaban a la sucesión de Fibonacci, los biólogos sabían que la concha del nautilus y en general todas las formas en espiral de la vida marina seguían ese modelo, y los astrónomos afirmaban que las relaciones con los planetas en el sistema solar, incluida la forma de la Vía Láctea, podían encontrarse a través de dichos números.

La fórmula antes citada en realidad no fue inventada por Fibonacci. Parece que Pitágoras ya la había descubierto dos mil años antes y los griegos la llamaron ‘sección áurea’‘ (‘aurea sectio’), que en palabras sencillas dice: “La sección áurea describe cualquier punto de una línea en que la proporción entre el segmento menor y el mayor es igual a la proporción entre el segmento mayor y toda la línea”. Las civilizaciones antiguas utilizaban esta proporción en campos como la arquitectura, pintura o la música. Platón y Aristóteles consideraban que era la relación perfecta para determinar si algo es estéticamente bello, si bien para Pitágoras significó algo más. Fibonacci, cuyas aportaciones a las Matemáticas fueron muy importantes, nunca llegó a conocer la trascendencia de su ‘descubrimiento’. Fue mucho después cuando Edouard Lucas (1841-1892), matemático francés reconocido por sus trabajos sobre la sucesión de Fibonacci, muy interesado en la Teoría de Números, asoció su nombre a lo que en principio era tan solo la respuesta a un problema de su libro ‘Liber Abaci’.

Mario Livio, astrofísico israelí-estadounidense, autor de obras de divulgación científica, es conocido por su libro sobre el número φ: “La proporción áurea: La historia de Phi, el número más sorprendente del mundo” (The Golden Ratio: The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number) (2002) donde analiza la influencia de la razón áurea a través de varios siglos de arte, arquitectura, música y otros campos. Entre otros aspectos, señala que algunos historiadores sostienen que el escultor griego Fidias había utilizado la proporción áurea en sus obras, surgiendo de ahí la idea de llamarle φ por su inicial en griego. Por tanto, no fue descubierto por Fibonacci, ni le debe su nombre; sin embargo, es preciso acudir a su sucesión para adentrarse en toda su capacidad armónica, una sucesión que entraría en el campo de la aritmética y de la que también deriva el número áureo. Dan Brown, autor de la famosa novela ‘El código Da Vinci’, apoyó su libro afirmando: “Livio revela la historia y el misterio del singular número φ de tal forma que tanto los aficionados a las matemáticas como los que no lo son pueden celebrar su maravilla… nunca mirarás de nuevo a una pirámide, una piña o a Picasso de la misma forma”.

En nuestras actividades cotidianas a veces nos encontramos con situaciones que ni por asomo pensamos que puedan estar relacionadas con las Matemáticas.


Un problema de triángulos y la capacidad visual

febrero 22, 2021

Se trata de un problema para el que no se necesitan conocimientos matemáticos, tan solo recordar la figura de un triángulo. En esta ocasión no valen por tanto excusas del tipo… ‘es que las matemáticas no es lo mío’, ‘yo es que soy de letras’ u otras en una línea similar. El enunciado, muy simple, dice así:

¿Cuántos triángulos hay en la figura adjunta?

Ver solución en “Rectángulos, áreas y geometría”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “El euro que falta y la suma de restos”.

En este tipo de problemas lo mejor es aplicar una lógica ‘distinta’ a la que suele plantear el enunciado, normalmente con intención de confundir.

La realidad es que no falta ningún euro.

Se puede razonar, entre otras, de las dos siguientes maneras:

a) Mediante fracciones.
Cada uno de los tres amigos tendría que pagar 25/3 euros. Si además deciden dejar 2 euros de propina (2/3 de euro cada uno), cada amigo habría pagado 27/3 (9 euros). Lo que suma un total de 27 euros, que añadidos a 1 euro que cada uno se queda de la vuelta que les da el camarero hacen un total de 30 euros. Justo la cantidad que entregan para pagar la cuenta (3 billetes de 10 euros).

b) Viéndolo en su conjunto.
Si a la cuenta que asciende a 25 euros, le añadimos 3 euros que cogen de vuelta (1 cada uno de los tres amigos), más 2 euros que dejan de propina, el total es de 30 euros (3 billetes de 10 euros).


El euro que falta y la suma de restos

noviembre 11, 2020

Hay muchas formas de calcular, pero no todas acertadas. Viene a cuento porque a veces un problema en apariencia sencillo nos lleva a la confusión precisamente por eso. Sobre todo cuando se hace con la operación o planteamiento hecho de una manera gráfica o escrita en un papel. ¡Suele entrar por los ojos! Además de manera fácil, sin lugar a la reflexión, ni siquiera alguna duda. Es el caso del problema que se expone a continuación. Dice así:

“Tres amigos están en una cafetería. Al pedir la cuenta, deciden pagar el importe a medias. El camarero les dice que asciende a 25 euros. Cada uno saca un billete de 10 euros, lo que hace un total de 30 euros. Les devuelven 5 monedas de 1 euro. Cada uno coge 1 moneda y generosos deciden dejar los 2 euros restantes de propina. Por tanto, cada uno ha pagado 9 euros (10 euros menos 1 que les devuelven), que multiplicados por tres (amigos) hacen un total de 27. Si a eso le añadimos los 2 euros de propina, hacen un total de 29.
La pregunta es: ¿Dónde está el euro que falta?”

Ver solución en “Un problema de triángulos y la capacidad visual”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Manzanas, naranjas y la lógica de las etiquetas”.

Como el contenido de las tres cajas se encuentra mal etiquetado, se debe coger una fruta de la que dice ‘manzanas y naranjas’. Con esto será suficiente, pues solo se pueden dar las dos siguientes opciones:

– Al estar mal etiquetada, si es una manzana, solo podría ser la caja de manzanas. Por tanto, las naranjas estarían en la caja que pone ‘manzanas’, y la caja restante sería la de manzanas y naranjas.
– Si la fruta fuese una naranja, ésta sería la caja de naranjas, las manzanas estarían en la caja de ‘naranjas’ y en la caja que queda estarían las manzanas y naranjas.


Manzanas, naranjas y la lógica de las etiquetas

agosto 3, 2020

En esta ocasión se trata de un problema de lógica. Un tipo de problemas que siempre resulta atractivo porque consiste en buscar alternativas hasta dar con la solución. A veces interviene el pensamiento lateral, pero otras con el sentido común es suficiente. Dice así:

“Una frutería a la que acaban de llegar tres cajas de un reparto. Una contiene sólo manzanas; otra, sólo naranjas; y la tercera, manzanas y naranjas. Cada caja tiene una etiqueta distinta (‘manzanas’, ‘naranjas’ y ‘manzanas y naranjas’), pero ninguna tiene la etiqueta que le corresponde.

¿Cómo se puede saber la fruta que contiene cada una de las cajas sacando una sola pieza de una sola de ellas?”

Ver solución en “El euro que falta y la suma de restos”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Un problema de triángulos, áreas y semejanzas, una manera de recordar conceptos”.

En la figura se puede observar que los triángulos 1 y 2 son semejantes porque tienen todos sus ángulos iguales. Además, la base del triángulo 2 es igual al lado del cuadrado y la del triángulo 1 a la mitad del mismo. Por otra parte, una propiedad de los triángulos semejantes es que la razón entre sus alturas es igual a la existente entre dos lados homólogos.

Si llamamos h1 y h2 a las alturas y c al lado del cuadrado se pueden establecer las siguientes relaciones:

Por tanto el área del triángulo 2 es igual a 1/3 del área del cuadrado.


Los gorriones y su importancia en el equilibrio del ecosistema

julio 15, 2020

El gorrión común es quizás el ave más extendida de nuestro planeta. Aunque se adapta a cualquier situación, su supervivencia depende en gran medida de las actividades del hombre. Una prueba es que cuando un pueblo queda abandonado, sin habitantes, los gorriones no tardan en desaparecer del entorno. Son muchas las informaciones que hacen hincapié en la gran importancia que tiene la conservación de esta especie.

Un ejemplo claro de su incidencia en el ecosistema de nuestro planeta fue el ocurrido en 1958 en China cuando Mao Zedong (Mao Tse Tung), su líder, decidió acabar con la vida de los gorriones por entender que eran los causantes de comer el grano de las personas. Para ello movilizó a todo el país y en cuatro años consiguió que se extinguieran en grandes zonas de China. Sin embargo, su plan ni tuvo éxito, ni mejoraron las cosechas. Esta acción trajo consigo el fenómeno contrario: ¡Terminó también con la vida de millones de sus habitantes! Es cierto que los gorriones se comían una parte del grano, pero al desaparecer se multiplicaron los insectos que arrasaron con las cosechas provocando una hambruna terrible. Además ocurrió otra cosa peor: ¡fue imposible restaurar el equilibrio del ecosistema! y se vieron obligados a utilizar pesticidas de forma masiva para acabar o frenar las plagas. Aunque en esto último tuvieron éxito, fue un éxito relativo. Es cierto que acabaron con los insectos, pero… ¿cuál fue el resultado? Imaginemos, por ejemplo, una plantación de frutales al final de este proceso: ¡lo normal era encontrarse a las personas realizando el trabajo que hacían antes… las abejas! En el más absoluto de los secretos, y con el fin de intentar revertir la situación, China se vio obligada a importar un cargamento de gorriones procedentes de Rusia, pero todavía hoy se puede observar en distintas zonas del país polinizar a mano los cultivos. Esta experiencia, esta lección, viene a demostrar, enseña, que no se puede romper el frágil equilibrio que hace que nuestro planeta siga funcionando con normalidad. ¡Las consecuencias pueden ser imprevisibles!

En realidad, el gran exterminio de los gorriones en China fue una campaña política del gobierno de Mao Zedong como parte del proyecto denominado ‘Gran Salto Adelante’ con el que pretendía transformar la tradicional economía agraria con una serie de medidas económicas, sociales y políticas entre 1958 y 1961 para convertir al país en base a una rápida industrialización en una superpotencia económica y militar. Sin embargo, lo que consiguió fue acabar con la vida de millones de personas con la peor hambruna de su historia, provocada sobre todo al tener que expropiar los alimentos del pueblo para enviarlos a la URSS (Unión Soviética) a cambio de fábricas y armas. Durante el proyecto citado se desarrollaron varias campañas, una de ellas fue la llamada ‘Las cuatro plagas’ en la que el gobierno decretó que fueran completamente eliminadas cuatro especies que consideraba letales para las cosechas: ratones, moscas, mosquitos y gorriones. En el caso de estos últimos, que se alimentaban del grano, se suponía que al desaparecer se obtendrían más toneladas, pero su extinción trajo el efecto inverso. Y en 1960 no se tuvo más remedio que rectificar finalizando su persecución, hasta el punto que la URSS se encargó de su repoblación enviando un cargamento de 200000 gorriones que llegaron en secreto para evitar un descenso en la popularidad de Mao Zedong.

El 18 de abril de 1958 los campesinos mataron 400.000 gorriones, que exhibieron así. (Fuente: La Vanguardia. Foto Sovfoto/Universal Images).

En los últimos 10 años los gorriones han sufrido un descenso del 21% en nuestro país; unos 30 millones menos de ejemplares, según señala el programa de Seguimiento de Aves Comunes en Primavera de SEO/BirdLife, organización que ha presentado una campaña, ‘Aves de Barrio’, encaminada a asegurar no solo el equilibrio del ecosistema en la naturaleza sino también la calidad de vida en las ciudades. Según Beatriz Sánchez, su coordinadora: “Este declive es alarmante, pues de no cambiar esta tendencia podríamos encontrarnos muy pronto con unas ciudades sin gorriones y esto podría afectar también al resto de habitantes de las zonas urbanas”. Su objetivo es impulsar el seguimiento de las poblaciones del gorrión común, estudiar las causas de su extinción paulatina y las posibles consecuencias para la calidad de vida de las personas, sobre todo en las ciudades. Añade que: “Es necesario concienciar a la sociedad de la importancia de la biodiversidad urbana, donde se estima que el 20% de las especies de aves que existen en el mundo y el 5% de las plantas vasculares habitan en ellas”. Asunción Ruiz, directora ejecutiva de dicha organización, reclama también que: “Las urbes sean más verdes, más biodiversas y saludables para todos sus habitantes, pues existen evidencias científicas de los beneficios para la salud de vivir en zonas donde se observen pájaros, arbustos y árboles”.

El gorrión común fue declarado ‘Ave del año” en 2016. Habría que preguntarse por qué un ave tan familiar para todos se encuentra en declive. Varias organizaciones ornitológicas han llamado la atención sobre el tema y han confirmado que la intensificación agraria, el aumento del uso de pesticidas en zonas próximas a núcleos urbanos rurales o la contaminación son algunas de las causas. Al gorrión se le puede ver en cualquier entorno, siendo frecuente, aunque ahora menos, su presencia en núcleos urbanos. La ausencia comienza a ser preocupante en las grandes ciudades como Londres, Bruselas o Amberes (en otras ha disminuido también de forma drástica como Berlín, París o Praga) de un ave que convive con el ser humano desde hace siglos y que tanto ayuda por ejemplo a controlar las plagas, dispersar las semillas, etc. En España se estima que quedan unos 140 millones de ejemplares (un 11 % menos que en 1998), y aunque su descenso no sea tan acusado, comienza a ser preocupante. Según Juan Carlos del Moral, responsable del área seguimiento de la avifauna de SEO/Bird/Life: “Los gorriones son un bioindicador que establece el estado de la biodiversidad de nuestro entorno. Quedarnos sin golondrinas, sin gorriones y sin otras aves comunes a nuestro alrededor, significa que están sufriendo impactos que nos están afectando también a nosotros”.

Mapa de la distribución actual del gorrión común. Se puede observar su carencia en China como consecuencia de la persecución en la época de Mao Zedong. (Fuente: Wikipedia).

Como señala también Juan Carlos del Moral: “El gorrión es un indicador del estado de la biodiversidad de en nuestro entorno y garantizar su supervivencia es sinónimo de calidad de vida”. De su importancia y conservación da idea el hecho de que cada 20 de marzo se celebre en todo el mundo el Día Mundial del Gorrión (World Sparrow Day), una iniciativa de la Nature Forever Society de la India y otras organizaciones conservacionistas, un día para llamar la atención sobre la situación de una especie de tanta importancia para el equilibrio de nuestro ecosistema.


Historia y curiosidades de algunos números: el número ‘cero’ (0) y el número ‘pi’ (π)

mayo 26, 2020

Un número es una cantidad o magnitud que representa una propiedad o función concreta de un objeto. Se trata de un concepto que se suele asociar a la capacidad para contar y también a la de comparar cuando dos conjuntos similares uno es mayor que otro. Las primeras sociedades humanas ya se encontraron con esta última tesitura, así como conocer con exactitud de cuantos elementos estaba formado cada conjunto. Sin  embargo, la habilidad o capacidad de saber contar del ser humano no es un fenómeno tan simple. No todos los pueblos o culturas tenían métodos de conteo lo suficientemente amplios. Se cree que los primeros sistemas se iniciaron mediante el uso de objetos físicos (p.e. montones de piedras) o marcas (p.e. en huesos tallados). Referente a los sistemas numerales parece que la operación de contar estaba relacionada, aunque no siempre, al conteo con los dedos. De ahí que el sistema de base decimal fuese el más utilizado. Ahora bien, a medida que la ciencia avanzaba otros números, no menos importantes, fueron tomando acto de presencia, sobre todo en el mundo científico. Se suele afirmar que desde hace 5000 años la mayoría de las civilizaciones contaban tal y como lo hacemos en la actualidad; si bien, aunque todas representaban con exactitud los números naturales, su forma de escribirlos no siempre era la misma. Sin embargo, sobre lo que no existen dudas es que… los números, las cifras, nos han acompañado siempre.

Con este post iniciamos las curiosas historias que, por su significado u origen, rodean a algunos números muy conocidos o a menudo utilizados. Incluiremos también diversas anécdotas sobre nuestra predilección por determinados números en concreto. Comenzaremos con el número cero (0) y el número pi (π).

Número ‘cero’ (0)

Antes de hacer un breve recorrido por su historia, como complemento de información conviene recordar que un sistema de numeración es un conjunto de símbolos que sirve para asignar un determinado valor a los números. Se clasifican en dos grandes grupos: sistemas posicionales y no posicionales. En los posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado como de la posición que ocupa en el número, mientras que en los no posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo, no dependiendo de la posición o columna en que se encuentren. La cantidad de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema. Así, si decimos que un sistema tiene base X quiere decir que existen X símbolos diferentes para escribir los números y que X unidades componen una unidad de orden superior. Por ejemplo, en el sistema de numeración decimal, el más utilizado, si contamos desde 0 e incrementamos una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades ya no existen más símbolos disponibles. Es decir, para seguir contando lo que hacemos es añadir una nueva columna a la izquierda del número, volviendo a utilizar de nuevo sus símbolos (en este caso 10, del 0 al 9) formando entonces una unidad de primer orden (decena). Y así sucesivamente a medida que se va ampliando.

El cero (0) es el signo o símbolo numérico de valor nulo. Su historia como tal valor no es muy antigua. Si bien grandes y antiguas civilizaciones (Egipto, Babilonia, Grecia o Maya) disponen de documentos matemáticos o astronómicos mostrando símbolos indicativos del valor cero, no lo pudieron aplicar o introducir como tal por las distintas peculiaridades de sus sistemas numéricos. Se cree que el cero apareció por primera vez en Babilonia en el siglo III a.C., aunque su escritura parece que se remonta al año 2000 a.C. Los babilonios, que escribían en arcilla sin cocer sobre superficies planas o tablillas, utilizaban un sistema de base 60 en el que no era posible distinguir por ejemplo el número 15 del 105 o del 1005. Es alrededor del año 400 a.C. cuando comienzan a colocar el signo de ‘dos cuñas’ en los lugares ocupados por el cero. También se tiene constancia antes de la era cristiana del uso del cero en Mesoamérica, correspondiendo a la cultura maya en el año 36 a.C. el primer documento con este símbolo en su sistema de numeración. Los romanos no lo utilizaban ya que sus números se representaban por agrupación o suma de letras del alfabeto: I, V, X, L, C, D, M (así por ejemplo: MCLI=1151).

Aunque todavía no está claro quien fue su inventor, se cree que fue en la India, hacia el año 650, cuando ‘nació’ el cero (0) como valor nulo. Cuna de la numeración posicional, se apunta a que fue el matemático Brahmagupta el primero en teorizar sobre el concepto de ‘cero’. Lo que ofrece menos dudas es que el sistema de numeración decimal (0 al 9) pasó desde la India a la cultura árabe y de allí a Europa. Si  bien se atribuyen los primeros usos del cero a Francia o al controvertido papa Silvestre II, alrededor del año 1000, la mayor parte de las referencias indican que fue introducido en Europa en el año 1202 por el matemático italiano Leonardo de Pisa, también conocido por Fibonacci, que lo describe en una de sus obras, ‘Liber abaci`’ (‘Libro del ábaco’), mostrando el álgebra árabe y elogiando las grandes ventajas respecto al sistema de numeración romano.

El cero, símbolo de valor nulo (0), forma parte del sistema de numeración decimal, el más utilizado en todo el mundo, donde según el lugar en que se encuentre hace que otros números cambien de valor.

Número ‘pi’ (π)

El número π (pi), uno de los números más famosos de la historia, representa la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Se trata de un número irracional, que a diferencia de los números racionales no se pueden representar por el cociente exacto de dos números enteros (fracción), ya que su expresión decimal ni es exacta ni periódica. Su valor real, truncado en sus primeras cifras, es 3,14159265358979323846… y así hasta el infinito. Se puede observar que la secuencia de sus cifras no se repite.

Al número π se le recuerda muchas veces como 3,1416 (tres, catorce, dieciséis), pero sobre todo como 3,14 (tres, catorce). De ahí que el 14 de marzo (3- mes, 14- día) haya sido declarado o se le conozca como el día del número pi. Su nombre o símbolo π, letra griega pi, procede de la inicial (la misma) de dos palabras griegas (‘periferia’ y ‘perímetro de un círculo’). Fue propuesto en 1706 por el matemático inglés William Jones, aunque fue el suizo Leonhard Euler, seguramente el matemático más importante del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los tiempos, quien en 1748 lo difundió y popularizó de forma definitiva en su famosa obra dedicada al cálculo infinitesimal. La búsqueda de su valor con el mayor número de decimales ha sido constante a lo largo de la historia. De una forma resumida a continuación se señalan alguno de sus hitos más importantes.

En las culturas antiguas como el Antiguo Egipto se remonta al año 1800 a.C. Está descrito en un papiro (Rhind) donde se señala un valor aproximado de π indicando que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9 (es decir, 8/9 del diámetro). O lo que es lo mismo π=256/81 (4*64/81)= 3,1649… 

En Grecia, el matemático Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el valor de π entre el intervalo comprendido por 3 10/71 (223/71), como valor mínimo, y 3 1/7 (22/7), como valor máximo, lo que significa una aproximación con un error entre 0,024 % y 0,040 % sobre su valor real. Su método era muy simple y al ser los griegos desconocedores de los números decimales lo expresó como fracción. Consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n lados en circunferencias y calcular su perímetro. Comenzó con hexágonos, pero fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados. Alrededor del año 20 d. C., en Italia, el ingeniero romano Vitruvio calculó el número π como el valor fraccionario 25/8 midiendo la distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro conocido. Hacia el año 150 d. C., el astrónomo y geógrafo griego Ptolomeo equiparó a π a 3,1416. En 1600, el profesor de matemáticas alemán Ludolph van Ceulen (a lo largo de su vida) fue capaz de calcular el valor de π llegando a utilizar polígonos de millones de lados, un trabajo que fue muy reconocido, tanto que como homenaje póstumo se grabaron sobre su tumba las 36 cifras a las que llegó. A finales del siglo XIX, el matemático inglés William Shanks calculó a mano 707 decimales (tardó veinte años), aunque luego se descubrió que había un error en el proceso y solo eran correctas las 527 primeras cifras. Y ya en el siglo XX, con la ayuda de la informática (computadores), se avanzó a pasos agigantados hasta llegar a miles de millones de dígitos, cifra que se ha superado ampliamente en el año 2009 llegando con la ayuda de una supercomputadora a más de dos billones y medio de decimales, reto que ha quedado para cuando se desarrollen nuevas técnicas.

Tan solo añadir a título de curiosidad acerca del número π, al que casi siempre se recuerda de nuestra educación matemática básica, aunque se trata de un número irracional y por tanto no tiene ninguna secuencia que se repita en su expresión decimal, entre las posiciones 762 y 767 se produce un hecho caso curioso: aparecen seis nueves seguidos. Una ubicación conocida con el nombre de punto de Feynman debido a un comentario simpático de Richard Phillips Feynman, famoso físico estadounidense, quien decía: “Me gustaría memorizar todos los decimales de π hasta esa posición para terminar diciendo: “…9, 9, 9, 9, 9, 9 y así sucesivamente’’, Afirmaba en tono de broma que de esa manera sería un número racional, algo que solo podría ser posible si a partir de ese punto todas las cifras fueran nueves.

Solo decir como final que, si bien los diez dedos de las manos fueron la base inicial del sistema decimal, los números siempre han acompañado a la humanidad. El número 0 y el número π son un buen ejemplo.


Un problema de triángulos, áreas y semejanzas y una manera de recordar conceptos

mayo 11, 2020

Se trata de un reto que el matemático Ed Southall, profesor de la Universidad de Huddersfield (Inglaterra), lanzó a través de la red Twitter provocando un auténtico boom. Pronto se hizo viral. Muchos lo compartieron, bastantes admitieron haber estado horas intentando resolverlo y casi todos sin dar con la solución correcta. Un problema que aplicando conocimientos no demasiado complicados de geometría, tantas veces olvidados, lo hubiesen hecho más sencillo. Dice así:

“En la imagen de la figura se puede ver un triángulo ‘rosa’ dentro de un cuadrado. La pregunta es: ‘¿Qué fracción del cuadrado se encuentra sombreada en color ‘rosa’?”

Ver solución en “Manzanas, naranjas y la lógica de las etiquetas”.

Ed Southall señala que lo que más le sorprendió de las respuestas dadas en Twitter fueron  los muchos razonamientos que había detrás de las soluciones, algo que encajaba muy bien con la filosofía de su último libro, ‘Geometry Snacks’, donde presenta 53 rompecabezas y las distintas formas de resolverlos. Lo resume en: “Se trata de un libro en el que se dan al menos dos enfoques para la misma respuesta. El propósito es resaltar que hay múltiples vías disponibles y que son todas válidas y de igual valor. Cuando enseñamos Matemáticas muchas veces promovemos nuestra solución sin explorar ninguna otra. Para mí hay una gran riqueza en la exploración de los diferentes enfoques. Hace que todos los métodos se sientan válidos, por lo que si un alumno lo ha hecho de otra manera, aún puede sentir la tranquilidad de haberlo hecho bien, mientras que lo que sucede a menudo es que si obtuvieron la respuesta correcta de una manera diferente a la de su maestro, sienten que su método es inferior”.

Antes de ser profesor universitario en Huddersfield, Ed Southall era Jefe de Matemáticas en una escuela secundaria de Sheffield. Es entonces cuando comienza a replantearse el enfoque de la asignatura, haciendo hincapié en ‘comprender’ las Matemáticas en lugar de aprenderlas de memoria: “Es ahí cuando obtienes la iluminación de qué se trata la Matemática y por qué es hermosa”. En el año 2012 empieza por presentar un acertijo matemático cada semana para ser resuelto por los docentes de su departamento: “Lo hice para generar más entusiasmo sobre las Matemáticas y para revitalizar su amor por el tema. Luego comencé con la Web y como la respuesta fue muy buena… seguí”. Algo que más tarde extendió a Twitter, red social donde cuenta con miles de seguidores.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “El automóvil y los círculos concéntricos”.

En la figura se puede observar que en el giro concéntrico del automóvil se describen dos perímetros, dos círculos, uno de radio r y otro de radio r+2, cuya longitud sería:

P (interior)= 2πr y
P (exterior)= 2π (r+2)

Por otra parte se indica que las ruedas exteriores dan el doble número de vueltas que las interiores. Es decir, el perímetro exterior tendría una longitud doble que el interior. O lo que es lo mismo:

4πr= 2π (r+2) = 2πr + 4.
Por tanto r=2

Y el perímetro exterior:
P (exterior)= 8 π


El automóvil y los círculos concéntricos

febrero 26, 2020

Se trata de un sencillo ejercicio de geometría elemental. Hasta niños de primaria son capaces de resolverlo. Solo requiere recordar las propiedades de la circunferencia y el círculo. Dice así:

“Para probar la capacidad de giro de un automóvil se le hace describir un círculo de tal modo que las ruedas exteriores dan doble número de vueltas que las interiores. La separación entre las ruedas de un mismo eje es de 2 metros. ¿Cuál es el perímetro del círculo exterior?”

Ver solución en “Un problema de triángulos, áreas y semejanzas y una manera de recordar conceptos”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Una atrayente ecuación numérica, un problema para una mente lógica”.

En su enunciado ya dábamos una pista por donde debería actuar la lógica. Se señalaba:
“Como complemento, decir que el resultado de cada una de las igualdades planteadas se forma de la siguiente manera: primero se deben restar los dos números y luego sumarlos. Así por ejemplo: 6 – 4 = 2 y 6 + 4 = 10; entonces, 2 y 10 da como resultado 210. Igual con el resto de los citados”.

Por tanto, los números buscados serían: 12 y 11
Y la ecuación o secuencia 12+11=123 (12-11=1 y 12+11=23).
O lo que es lo mismo, primero se deben restar los números para la primera cifra y luego sumarlos para la segunda.


Una atrayente ecuación numérica, un problema para una mente lógica

diciembre 16, 2019

En el post del último problema planteado salió a relucir por primera vez el nombre de Presh Talwalkar, matemático estadounidense autor de ‘The Joy of Game Theory’, una introducción al pensamiento estratégico, quien además de su faceta profesional tiene un blog personal y un canal en YouTube donde publica interesantes problemas matemáticos. A continuación reflejamos uno de los ejercicios que puso a prueba a muchos usuarios de la red social Facebook, al sentirse atraídos según el periódico ‘Daily Mail’ por la ‘propuesta’ de querer demostrar que poseían un coeficiente intelectual mayor de 150. Dice así:

“En el cuadro de la figura se plantea la siguiente relación o ecuación numérica: 6 + 4 = 210; 9 + 2 = 711; 8 + 5 = 313; 5 + 2 = 37; 7 + 6 = 113; 9 + 8 = 117; 10 + 6 = 416 y 15 + 3 = 1218.
La pregunta es: ¿Cuales serían los dos números que darían como resultado 123?

Como complemento de información, decir que el resultado de cada una de las igualdades planteadas se forma de la siguiente manera: primero se deben restar los dos números y luego sumarlos. Así por ejemplo: 6 – 4 = 2 y 6 + 4 = 10; entonces, 2 y 10 darían como resultado 210. Igual con el resto de números y ecuaciones citadas”.

Ver solución en “El automóvil y los círculos concéntricos”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Como calcular la altura de una mesa por niños de educación primaria”.

Lo primero recordar que se trata de un ejercicio propuesto a alumnos de primaria cuyos conocimientos matemáticos son escasos. Por tanto lo lógico sería encontrar la solución sin recurrir, por ejemplo, a ecuaciones, probablemente el método utilizado por la mayoría de los adultos.

Como se puede observar, en principio para calcular la altura de la mesa solo se cuenta con las dos medidas indicadas en las figuras de su enunciado. En la primera aparecen un gato encima de la mesa y una tortuga en el suelo indicando que la altura desde lo alto del caparazón de la tortuga hasta la cabeza del gato es de 170 cm.; mientras que en la segunda, con los dos animales intercambiados de sitio, se señala que la altura desde la cabeza del gato al caparazón de la tortuga es de 130 cm.

La solución consistiría en colocar una mesa encima de la otra. De esa manera se puede observar como de forma solo visual su altura es de 150 cm. (2 mesas=300 cm.).

Para aquellos que no dieron con esta solución, recurriendo finalmente a las ecuaciones el planteamiento sería el siguiente:
gato + mesa – tortuga = 170
tortuga + mesa – gato = 130

Si sumamos ambas ecuaciones, se eliminarían los términos de gato y tortuga (se anulan entre sí), llegando a la misma solución que con el método visual utilizado por los niños de primaria. Es decir:
2 mesas= 170 + 130 = 300
Y por tanto la altura de la mesa sería de 150 cm.