Del coronel al soldado y viceversa: reparto de 28 caballos en 7 cuadras

septiembre 11, 2017

Se trata de un ‘problema’ matemático lleno de sorpresas a medida que va pasando por el escalafón militar de un cuartel. A primera vista, la ‘operación’ no parece tener sentido y pudiera… ser así. Aunque no es de profundidad, matemática se entiende, encierra mucho humor incluso hasta su desenlace. El país, lugar y situación donde transcurre es lo de menos. En nuestro caso lo hemos adaptado a la historia contada aquí con mucha gracia que comienza con la socorrida frase… “Érase una vez…”. A esta sección conviene ponerle un poco de humor de vez en cuando y este ‘problema’ cumple los requisitos. ¡Al final todo cuadra! Dice así:

“Érase una vez…, hace mucho tiempo, el coronel de un regimiento recibe un mensaje comunicándole que muy pronto le llegarían los caballos por él solicitados.
Al cabo de unos días un joven soldado se acerca al cuartel con 28 caballos. Previa parada en la entrada, donde muestra su credencial, el centinela del puesto se lo comunica al cabo de guardia, que le acompaña al despacho del sargento al que, tras pedirle permiso para entrar, se presenta con el saludo correspondiente:

– A sus órdenes mi sargento. Traigo conmigo los 28 caballos solicitados por este regimiento. Están amarrados y en estado de revista a la entrada del cuartel.
– Bien, soldado. Los estábamos esperando. Llévalos al patio y repártelos adecuadamente en las siete cuadras iguales que hay en él.
– Lo haría con gusto mi sargento, pero tengo un problema para cumplir su orden: no sé cómo hacerlo, soy analfabeto y de números sólo sé contar con los dedos, y nada más.

El sargento, se rascó la cabeza bajo la gorra, torciendo el gesto.
– Es el caso, soldado, que aunque yo sí entiendo de cuentas, sólo sé sumar, algo que me enseñó a hacer el capitán, y esa operación requiere otros conocimientos superiores. Ve a su despacho y que él te resuelva el problema.

El soldado se presentó de igual manera al capitán, quién le dijo que él, enseñado a su vez por el coronel, aparte de sumar y restar, sólo alcanzaba a multiplicar, operación muy útil, pero insuficiente para la complejidad de aquel problema. Por ello, lo envía al coronel para quién las matemáticas no tenían secreto alguno ya que incluso sabía dividir.

Tras solicitar su permiso, entra en su despacho, donde le pone al corriente de las diligencias hechas con sus subordinados. El coronel se retrepó entonces en la silla sonriendo con suficiencia.
– No te apures soldado, estás de suerte puesto que además de ser la máxima autoridad del regimiento, soy el único que domina con soltura la difícil operación de dividir necesaria para este menester, así que yo te diré cuantos caballos has de meter en cada cuadra para que queden equitativamente repartidos.

Dicho esto, cogió papel y lápiz y se puso a la tarea. Escribió, como debe ser, el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha encerrado en su caja y, entre dientes, razonó:
– Dos entre siete, no cabe, por tanto cojo el ocho, que sí cabe.
Ocho entre siete, a uno. Uno por siete, siete. De siete a ocho, uno y me bajo el dos, lo que nos da veintiuno, que entre siete son tres. Como el resto es cero, el resultando de la división es exactamente trece.
– Ese es el número de caballos que has de meter en cada cuadra. Ve, hazlo y después di al sargento que te den vino, un chusco y un catre donde descansar. Puedes retirarte.
– A las órdenes de usía mi coronel- se despidió el soldado con un marcial taconazo.

Al pasar por la puerta del despacho del capitán éste le llamó interesándose por el resultado del problema, deseando impresionar con sus habilidades matemáticas al soldado.
– Si el coronel te ha dicho que son 13 los caballos que debes encerrar en cada cuadra así será. No obstante, no estará de más que yo lo compruebe para asegurarnos de que esté bien hecha. Si multiplicamos los trece caballos que has de meter en cada cuadra por el número de éstas, o sea, siete, forzosamente nos han de salir los veintiocho que traes. Veamos pues.
Con no menos pericia que el coronel, fue recitando los pasos de la delicada operación.
– Siete por uno, son siete. Vamos con el otro. Siete por tres, veintiuno, que sumado al siete de antes, hacen veintiocho. Justo y cabal, soldado. El coronel, como siempre, está en lo cierto. Cumple pues su orden.

Tal y como le había ordenado el coronel, el joven se dirigió al despacho del sargento, más no le hizo falta entrar pues antes de llegar a la puerta ya salió aquel a su encuentro ansioso por poner en práctica su dominio de la suma e impresionar también al soldado. Una vez que hubo conocido el resultado obtenido por el jefe y avalado por el oficial, dijo:
– Si el coronel y el capitán han calculado que debes meter trece caballos en cada cuadra así habrá de ser, pero por asegurarnos y también porque veas la utilidad de la suma que, al fin y al cabo, no deja de ser una multiplicación más trabajada, pasa y observa como hago la comprobación para que vayas sabiendo de cuentas, por si con los años medras en la milicia y llegas a ser clase de tropa o hasta suboficial, como yo.

Dicho lo cual, sacó lápiz y papel y dispuso, como debe ser en una suma bien hecha, los siete treces en una columna para después, sin encomendarse a Dios ni al diablo y sin hacer distingos entre izquierda, derecha, arriba o abajo, sumar de corrido sin dejar ni uno todos los números que tenía delante.
– Así que tenemos… uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres… que hacen en total de… Mmmm… ¡Veintiocho!
– ¿Ves, como las matemáticas nunca fallan? Mete tranquilo las trece bestias por cuadra y ven después a que te facilite acomodo para que pases la noche./strong>

El soldado llevó los caballos hasta los establos, abrió las puertas de aquellos reducidos espacios y contándolos con cuidado para no equivocarse empezó a introducirlos una a uno.
– Uuuno, dooos, treees, cuaaaatro, ciiinco, seeeis… Hasta seis llegaron a entrar; y ni uno más, pues los animales, espantados al verse hacinados en aquel cubículo desconocido y oscuro, organizaron tal barahúnda de coces, relinchos y mordiscos que las paredes de la cuadra amenazaban con quebrarse. El joven, asustado, los hizo salir de nuevo, calmándolos después como pudo.
– Veamos: tres hombres sabios no pueden estar equivocados y las matemáticas esas, de las que tan bien hablan todos, tampoco -se dijo-. Piensa, Rufino-que así se llamaba el soldado-, y cumple bien la orden que te han dado si es que quieres hacer carrera en la milicia.
– Trece, trece, trece…-repetía angustiado para sí-. Recordó haber visto escrito aquel número en todas las operaciones: Trece. Y de golpe, una luz iluminó su entendimiento. ¿Qué es un trece sino un uno y un tres?
Esperanzado, metió en la primera cuadra un caballo atravesado al fondo y tres perpendiculares a él en la parte delantera. Un uno y un tres. O sea, un trece. Trece caballos cómodamente ubicados. Cerró la puerta y repitió la misma operación en las otras seis cuadras, comprobando aliviado que no sobraba ni faltaba ninguno.

Mas poco duró la tranquilidad al bueno de Rufino pues el coronel, alarmado por el alboroto que se había organizado hacía un momento, bajó a ver qué sucedía.
– No se preocupe, mi coronel, que consciente de mi error lo he enmendado y cada cuadra está ocupada por los trece caballos que usía indicó. Ahora duermen tranquilos en ellas.
– Eso parece, soldado, pero ya que he bajado, quiero comprobar que lo que dices es cierto. Abre las cuadras y contemos los animales que pernoctan en ellas.
– Es el caso, mi coronel, que ya están cerradas con llave y además los caballos han hecho un largo viaje. Es lástima que haya que despertarlos.
– Razón llevas muchacho, más no hará falta tal cosa puesto que por suerte yo estoy aquí y con una simple división podremos contar los equinos sin necesidad de abrir ninguna puerta. Échate al suelo y por el hueco que hay bajo una de ellas cuenta las patas que veas.
El soldado obedeció al instante y, no sin trabajo, las contó.
– Cabalmente, cuento dieciséis, mi coronel.
– Bien, pues dividamos dieciséis por las cuatro patas que tiene un caballo y el resultado nos dará el número de ellos que hay dentro.

A falta de papel y lápiz, el coronel se agachó y con el dedo en la tierra del suelo hizo la consabida cuenta que recitó también en voz alta para que lo viera el ignorante soldado.
– Uno entre cuatro, no cabe, pasemos pues al seis. Seis entre cuatro, a uno; uno por cuatro es cuatro; cuatro a seis, dos y me bajo el uno. Doce entre cuatro, tres. Tres por cuatro, doce, al doce, cero. Podemos dormir tranquilos, muchacho, y jurar ante Dios que trece, ni uno más ni uno menos, son los caballos que ahora mismo duermen en cada cuadra.

Y ahora, querido lector, ¿no crees que la Matemática, además de ciencia exacta, puede ser benévola con la ignorancia y también dejar lugar para la fantasía? En realidad es un chiste matemático más que un problema en sí. Seguro que uno enseguida se da cuenta de que los números no cuadran O eso esperamos. De ahí la pregunta, aunque sea muy fácil: ¿donde se encuentran los errores y los aciertos en las respuestas de la cadena de mando?: ¡Desde el coronel al soldado!

La solución en un próximo post.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Elección de cartas, un problema sencillo en un difícil contexto”

La solución correcta pasa por “darle vuelta a dos cartas: la que muestra un 8 y la que tiene el reverso marrón”. ¿Por qué? ¡Sólo una carta con número par y un color que no sea el rojo puede invalidar la proposición! Es decir, si le damos la vuelta a la carta con el 3, da igual que el reverso sea rojo o marrón: ¡esto no la anula! Lo mismo ocurre con la carta roja: ¡da igual que la otra cara sea par o impar! Sin embargo, si la carta con el 8 tiene el reverso marrón o la carta marrón tiene una cara con un número par: ¡la regla no se cumple! Así de fácil y al mismo tiempo así de complicado: ¡solo se cumple cuando le damos vuelta a las cartas citadas!

Un problema de lógica sencillo, que muy pocos (10 %) aciertan a la primera, que sigue desconcertando a los psicólogos tras más de 50 años y donde el contexto es una parte muy importante. Las personas pretendemos razonar de forma analítica, pero muchas veces nuestras decisiones no siguen una línea racional. En un próximo post trataremos de explicar por qué nuestro cerebro tiende a operar de esta manera.

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La selección de Wason, el razonamiento y las emociones

agosto 29, 2017

En un post anterior hicimos mención a la diferencia que existe a la hora de tomar decisiones entre lo que nos ‘sugiere’ nuestra parte analítica, razonamiento o forma de pensar, y lo que muchas veces, según el contexto, nos impulsan a realizar las emociones e intuiciones. Poníamos como ejemplo un problema sencillo que en un primer intento nos conduce por diferentes caminos casi siempre equivocados. Señalada en 1966 por Peter Cathcart Wason, psicólogo cognitivo inglés, en uno de los rompecabezas más conocidos de la historia, se trata de una forma de pensar, y luego decidir, que lleva desconcertando a los psicólogos desde hace más de 50 años. A continuación se refleja una de sus versiones clásicas:

“Encima de una mesa se muestran cuatro cartas que tienen un número en un lado y un color en el otro. Sus caras visibles son 3, 8, rojo y marrón tal y como se ve en la figura.
Se establece que si una carta muestra un número par un lado, la cara opuesta debe ser roja. La pregunta es: ¿A qué dos cartas se debería dar vuelta para comprobar la veracidad de la proposición anterior?
Nota.-
Tanto una respuesta que identifica una carta a la que no es necesario dar vuelta o que no lo hace con una carta a invertir son incorrectas”.

Como ya vimos, “la solución correcta pasaba por darle vuelta a dos cartas: la que muestra un 8 y la que tiene el reverso marrón”. ¿Por qué? ¡Sólo una carta con número par y un color que no sea el rojo puede invalidar la proposición! Es decir, si le damos vuelta a la carta con el 3, da igual que el reverso sea rojo o marrón: ¡esto no la anula! Lo mismo ocurre con la carta roja: ¡da igual que la otra cara sea par o impar! Sin embargo, si la carta con el 8 tiene el reverso marrón o la carta marrón tiene una cara con un número par: ¡la regla no se cumple! Así de fácil y al mismo tiempo así de complicado: ¡solo se cumple cuando le damos vuelta a las cartas citadas!

Parece ser que cuando Wason realizó su prueba tan solo un 10 % de los participantes acertaron a la primera. En honor a su autor a partir de entonces se empezó a conocer como la ‘tarea de la selección de Wason’. Daniel Kahneman, entre otros, uno de los pensadores más importantes del mundo, premio Nobel de Economía, la hizo popular al relacionarla con el llamado ‘proceso dual’ o ‘doble proceso’ que ocurre cuando el enunciado, según que palabras se usen, puede hacer pensar con uno u otro de los dos sistemas cognitivos que normalmente utilizamos.

Antes de proseguir con otro ejemplo que apoye estas connotaciones conviene hacer una breve referencia al razonamiento, concepto definido como una manera de pensar relacionada con la forma de expresión, en especial con el lenguaje escrito. Dicho de otra forma, partiendo de unas bases o premisas: “razonar es pensar con un cierto orden” para llegar a una conclusión. Existen dos tipos:
a) Razonamiento deductivo (también llamado ‘lógico’) que es aquel en que las conclusiones no aumentan la información de las premisas al estar incluidas implícitamente en ellas. Su validez afecta solo a la forma de ‘razonar’. Es decir, si las premisas son válidas, la información inicial también y además suficiente para llegar a la respuesta correcta. Por ejemplo, si se señala:
“Si voy a la piscina esta mañana comeremos juntos”, podemos afirmar que: ”Voy a la piscina esta mañana… por lo tanto comeremos juntos”.
b) Razonamiento inductivo (clásico de las materias científicas) donde por lo general las conclusiones suponen un incremento de la información dada; sin embargo, la manera de razonar no supone una necesidad ‘lógica’. En función del apoyo empírico con que se cuente, su ‘veracidad’ es solo ‘probable’. Se puede obtener nueva información pero no de forma categórica como en el razonamiento deductivo.

En 1982, dos psicólogos de la Universidad de Florida, Richard Griggs y James Cox, reformularon el acertijo de Wason al… ¡estar convencidos de que la dificultad estriba en su redacción! Para ello pidieron a sus interlocutores que imaginasen un experimento en el que fuesen… “policías en un bar buscando a menores de edad que estuviesen consumiendo alcohol en el local”. En ese contexto queda claro desde el principio que: “en el bar hay gente bebiendo, gente que no bebe, gente menor y gente adulta”. Y por tanto también el tipo de pregunta y a que grupo o grupos se debe interrogar para hacer bien el trabajo a la primera: ¡A todos los menores por si están bebiendo alcohol y a todos los que están bebiendo alcohol por si son menores! Fue entonces cuando se pudo comprobar como en un acertijo similar al planteado en la selección de Wason la mayoría acierta a la primera (el 75% de los participantes respondieron correctamente). Se trata pues de un mismo ‘desafío’, pero ‘percibido’ de manera muy distinta, que lleva a la conclusión de la importancia de razonar en función no solo de la estructura sino también del contenido o contexto. A pesar de que el reto sea el mismo, la manera de ‘vestirlo’ determina la dificultad del problema . En este caso la regla de partida deja de ser abstracta, como sucede con los números y colores de las cartas del primer ejemplo, pasando a ser totalmente social.

Años más tarde, en 1993, otro grupo de psicólogos volvió a realizar una prueba parecida a la original de Wason. El porcentaje de aciertos y errores se siguió moviendo en la misma línea (10 % y 90 %) desconcertando de nuevo a todos. Hasta el punto que, siendo un problema sencillo, confirmó que engaña a nuestra mente y manera de pensar. Tras diversos ‘experimentos’ se llegó a la siguiente conclusión: si la tarea de Wason se presenta como un acertijo lógico fuera de un contexto determinado los resultados suelen ser poco alentadores. Distintas teorías han intentado explicar el por qué se falla tanto cuando se ‘ataca’ por primera vez. Algunas ponen el enfoque en que su dificultad se debe a la estructura lógica de nuestras reglas, aunque hay quienes insisten que son las palabras con que se presenta la causa del error. De ahí que cuando se hace en un contexto como el de las relaciones sociales sea más fácil de resolver. Un buen ejemplo es el expuesto anteriormente sobre como probar la regla de: “Solo se permite tomar bebidas alcohólicas a los mayores de 18 años”. Son muy pocos los que tienen dificultad para seleccionar las personas a controlar: “Los menores de 18 años y que tomen alcohol”.

Ahora bien si siendo como es la misma estructura lógica: ¿Por qué importan tanto las palabras? Daniel Kahneman, al que hemos citado al principio, en su libro “Pensar rápido, pensar despacio” en el año 2011 hizo popular la teoría del ‘proceso dual’ o ‘doble proceso’. En él explica los dos sistemas que modelan cómo pensamos. El sistema antiguo o ‘Sistema 1’: “rápido, intuitivo y emocional”, y el ‘Sistema 2’: “más lento, deliberativo y lógico”. Ante cualquier problema ambos luchan por imponerse. En el caso de la tarea de selección de Wason queda claro que suele ganar el sistema antiguo, que utiliza atajos mentales como el llamado “sesgo de emparejamiento o correlación” para lograr antes lo que cree que es la solución correcta.

En una tarea ‘abstracta’ la explicación mas coherente a los resultados es la señalada por J. Evans, J. y J.S Lynch en ‘Matching bias in the selection task. British Journal of Psychology’ (1973), donde postulan la existencia del “sesgo de emparejamiento” (‘matching bias’) que significa que “los interlocutores seleccionan las cartas o tarjetas que aparecen citadas en las frases o contexto del problema”. Ocurre lo mismo cuando se niega el consecuente en el enunciado. En general, “tendemos a escoger como respuesta aquellos elementos que aparecen en el planteamiento”. Y no es casual que en nuestro primer ejemplo la mayoría elija dar la vuelta a la carta “8” (que es lo correcto) y también a la carta “roja” (que no lo es), pues el enunciado señala “número par” y “rojo”. Sin embargo, dar la vuelta a la carta “roja” no tiene lógica, porque descubrir un número par en la otra cara no ‘viola’ la regla como ya explicamos en su solución. Pero nuestro cerebro, ‘cerebro rápido’, nos ‘dice’, casi nos obliga a creer, que se trata de una buena idea. ‘Dirige’ nuestro pensamiento y conducta hacia su gran capacidad (también los errores y los sesgos), así como a la indudable influencia de las impresiones intuitivas.

Pero si no es racional entonces… ¿por qué lo hacemos? Parece que porque… “es rápido y uno se siente bien”. En contraste en el nuevo sistema el razonamiento abstracto (que es el que necesitamos) es difícil. Allí donde pueda permite que el viejo, muchas veces sin darse cuenta, guíe sus decisiones. De ahí que Kahneman señale que “una de sus principales características es la pereza”. Algo que no se da en el ejemplo del bar y menores de 18 años bebiendo porque el sistema antiguo está ‘acostumbrado’ a la ley que prohíbe el consumo de alcohol y la edad mínima legal para beber, conocimiento que nos sirve para resolver el acertijo sin mucho esfuerzo pues… ¡enseguida detectamos, y por tanto razonamos, quien ha incumplido una norma ‘social’!

El razonamiento y las emociones han sido y son una materia muy estudiada. Hasta no hace mucho se creía que eran independientes. Investigaciones recientes parecen indicar que están relacionados. Además la emoción casi siempre precede a la razón. Primero sentimos las cosas, luego la información llega a la razón que la devuelve, formando al final una especie de circuito retroalimentado. Uno de los elementos participantes en este recorrido es la intuición. Considerada a menudo como un tipo de información que viene no se sabe muy bien de dónde (como un sexto sentido) nos conduce por caminos que poco tienen de racionales. Sin embargo, en la actualidad algunos investigadores no están de acuerdo con esta idea y creen que se trata de una importante herramienta a la hora de tomar decisiones si se sabe utilizar correctamente. Piensan que la intuición, bien utilizada, puede ser una fuente de información que conecte el razonamiento y las emociones. Eso si, es necesario entrenarla.

El conocimiento es información adquirida y el razonamiento la capacidad de ordenar ideas para llegar a una conclusión. ¿Son incompatibles? No siempre. “Aprender a razonar o desarrollar la inteligencia emocional puede ayudar, y mucho”. ¿Somos los seres humanos realmente racionales? ¿Utilizamos la lógica en la resolución de problemas? Se puede afirmar que “la selección de Wason es un problema sencillo en un difícil contexto” y uno de los fenómenos más controvertidos en el ámbito de la teoría del razonamiento. El impacto de sus resultados fue enorme dando lugar a una amplia variedad de teorías y enfoques alternativos. Aún hoy sigue siendo objeto de debate y discusión: “Pensar en lo verdadero para seleccionar lo falso”.

 


Elección de cartas, un problema sencillo en difícil contexto

junio 30, 2017

Un problema de lógica, sencillo, que pocas personas suelen acertar en su intento inicial. Hasta el punto de llevar desconcertando a los psicólogos desde hace más de 50 años. El primero que planteó este acertijo o puzzle (se han hecho diversas versiones, todas muy parecidas) fue el psicólogo británico Wason. En apariencia parece fácil; sin embargo, según el contexto muchas veces nos desvía de la dirección adecuada. Sirve para explicar como nuestra manera de pensar depende en buena medida del entorno en que se realice. En un próximo post referiremos como, en ocasiones, las personas pretenden razonar de forma analítica, pero luego sus decisiones no siguen una línea racional.

A continuación una de las versiones más clásicas del problema. Dice así:

wason-02Encima de una mesa se muestran cuatro cartas que tienen un número en una de sus caras y un color en la otra. Sus caras visibles son 3, 8, rojo y marrón tal y como se ve en la figura.

Se establece que si una carta muestra un número par por un lado, entonces la cara opuesta debe ser roja. La pregunta es: ¿A qué dos cartas se debería dar la vuelta para comprobar la veracidad de la proposición anterior?

Nota.-
Tanto una respuesta que identifica una carta a la que no es necesario dar la vuelta o que no lo hace con una carta a invertir son incorrectas.

Ver solución en “Del coronel al soldado y viceversa: reparto de 28 caballos en 7 cuadras”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “El cuadrado, el triángulo, su área y las apariencias”

Lo único que se necesita saber o recordar para su resolución es que el área del triángulo es la mitad del producto de su base por la altura. Algo que todos conocemos sin mayor esfuerzo.

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Cada uno de los dos triángulos de la figura 1 tiene uno sus lados coincidentes con un lado del cuadrado y su vértice en el lado opuesto del mismo, lo cual significa que su altura es también igual al lado del cuadrado. Por tanto el área de cada triángulo será igual a la mitad del área del cuadrado (base por altura dividida por 2). Y por la misma razón, todo lo que no está incluido o forma parte del área de cada triángulo es también igual la mitad del área del cuadrado.

Si nos fijamos de nuevo en la figura 1 se puede observar que los sectores señalados con un punto rojo no forman parte del triángulo vertical, por lo que en base a la proposición anterior la suma de sus áreas será justo la mitad del área del cuadrado. Además, la suma de los sectores señalados con un punto verde coincidirá con el área del triángulo en posición horizontal, equivalente a su vez a la mitad del área del cuadrado, y por tanto igual a la suma de los sectores señalados con un punto rojo.

Dicho todo esto, como existen dos sectores que tienen puntos rojos y verdes simultáneamente, se puede deducir que el área del único sector que tiene solo un punto verde (f) tiene que ser igual a la suma del resto que solo tienen un punto rojo para mantener la igualdad citada (b+c+d).

O de una manera más gráfica para aquellos que el seguimiento del lenguaje utilizado les pueda resultar enrevesado, si denominamos con letras a las distintas áreas que intervienen:

a+b+c+d+e= suma áreas sectores punto rojo= suma sectores no pertenecientes al área triángulo vertical= mitad del área del cuadrado.
a+f+c= suma áreas sectores punto verde= área triángulo horizontal= mitad área del cuadrado.

Por tanto: a+b+c+d+e= a+f+c
O lo que es lo mismo: b+d+e=f

Que responde a la pregunta del problema: ¿Cual de las dos áreas es mayor? ¿El área donde se superponen los dos triángulos o el área que no pertenece a ninguno de ellos?, y cuya conclusión es: ¡las dos áreas son iguales!


El cuadrado, el triángulo, su área y las apariencias

abril 27, 2017

Un problema más para pensar de forma un poco diferente a la ‘habitual’. Eso que se ha dado en denominar, de manera un tanto coloquial: “pensamiento lateral”. En esta ocasión ni siquiera necesita cálculos, solo recordar las nociones más básicas de geometría relacionadas con el área del cuadrado y el triángulo. Planteado por Adrián Paenza, conocido divulgador matemático argentino, requiere mantener la mente abierta a cualquier supuesto. Dice así:

“En la Figura 1 se muestra un cuadrado que tiene inscritos dos triángulos que tienen uno de sus lados coincidentes con uno de los lados del cuadrado. Uno de ellos con su lado izquierdo y el otro en la base inferior. O lo que es lo mismo, cada triángulo tiene dos vértices coincidentes con dos vértices del cuadrado, estando ubicado el tercero en cualquier punto del lado opuesto del mismo.

Asimismo, se puede apreciar como los dos triángulos entre sí se cortan formando un área común o superpuesta tal y como se ve en color en la Figura 2. Y también un área que no pertenece a ninguno de ellos como se indica en la Figura 3.

La pregunta es: ¿Cual de las dos áreas es mayor? ¿El área donde se superponen los dos triángulos o el área que no pertenece a ninguno de ellos?”

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Ver solución en “Elección de cartas, un problema sencillo en difícil contexto”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “El truelo y una extraña paradoja”

En su enunciado ya comentamos que su solución encerraba una extraña paradoja. Y ésta no es otra, contra lo que pudiera parecer, que según la teoría de probabilidades lo mejor para el tirador A es que haga su primer disparo… al aire.

A continuación le llegaría el turno al tirador B que por lógica debería hacerlo contra el tirador C. Se trata del contrario más peligroso y tiene claro que si falla, C, que es un tirador perfecto (100 %), le devolvería el disparo y lo eliminaría en el siguiente turno. Tampoco debemos olvidar que B es más certero (67 %) que A (33 %) y, de no hacerlo así, truelo-01sería más arriesgado pues la siguiente ronda sería ya un duelo tradicional. Por otro lado también queda claro que cualquier resultado que se de en el duelo entre B y C su consecuencia es que uno de los dos habrá ‘desaparecido’ antes de que se inicie el siguiente turno para A.

De esta manera se puede afirmar que el tirador A consigue dos cosas:
1) Además de ser el primer tirador en el ‘truelo a tres’ que lo sea también en el ‘duelo a dos’.
2) Sus probabilidades de vencer aumentan ya que no sería contra dos contrarios sino contra solo uno.

Se puede concluir diciendo que el ‘truelo’ desemboca en la extraña paradoja de que el jugador con peor puntería al final sea quien tenga más probabilidades de ganar, pues los otros dos contendientes tenderán a dispararse entre sí cuando les llegue su turno, y por tanto la mejor opción para el tirador A es… realizar el primer disparo… al aire.


El truelo y una extraña paradoja

marzo 3, 2017

Estamos familiarizados con la palabra ‘duelo’ para aludir a un reto o combate dialéctico o de otro tipo entre dos equipos o personas, pero no así con ‘truelo’ cuando nos referimos al enfrentamiento entre tres partes. Pues bien, este es el caso a continuación planteado:

sin-titulo-1“Supongamos un truelo entre tres contendientes (A, B, C), en el que ganar significa eliminar a las otras dos, situadas en los vértices de un triángulo equilátero como muestra la figura.

Se sabe que cada vez que tira A acierta el 33 % de las veces (una de cada tres), B lo hace el 66 % (dos de cada 3), y la puntería de C es infalible (acierta siempre).

Las condiciones del truelo consisten en que cada uno tire una vez empezando por A (es la ventaja que han acordado al ser el peor tirador), luego lo hará B (por ser el segundo peor) y finalmente C. Este orden se mantendrá siempre, es decir: primero A, luego B y después C.

¿Cuál sería la mejor estrategia para A como primer tirador? ¿Disparar primero a B? ¿Hacerlo con C? ¿Otra alternativa?”

Se trata de un problema que encierra una extraña paradoja y una cierta contradicción con lo que en principio se pudiera pensar. Ejemplos de truelos conocidos los tenemos en el cine, como en la película de “El bueno, el feo y el malo” donde los tres protagonistas: el ‘bueno’, un cazarrecompensas y un asesino a sueldo se disputan un botín de 100000 dólares que se encuentra enterrado en la tumba de un cementerio. También se dan cita en la vida real como la confrontación entre serbios, croatas y bosnios en la guerra de la antigua Yugoslavia.

Ver solución en “El cuadrado, el triángulo, su área y las apariencias”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “La rutina y la velocidad y las consecuencias de un cambio”

En primer lugar con los datos disponibles se puede afirmar que el marido y la mujer (que sale de su casa siempre a la misma hora) llegan a casa 10 minutos antes de lo habitual. Por tanto la mujer necesitó conducir 10 minutos menos que en un día normal. Es decir, 5 minutos menos en el viaje de ida y otros 5 en el de vuelta.

reloj-02Por otro lado, si la mujer recoge siempre a su marido a las 5 de la tarde y en esta ocasión lo hace 5 minutos antes, quiere decir que se encuentran a las 4 h. 55 minutos. Si además tenemos en cuenta que el marido comienza a caminar a las 4 de la tarde (su tren ha llegado 1 hora antes de lo previsto) podemos concluir diciendo:

“El marido ha estado caminando durante 55 minutos” (desde la 4h. a las 4 h. 55’)

Como se puede ver se trata de un problema sencillo… cuando se conoce la solución, que puede parecer complicado por la aparente falta de datos. En estos casos se hace necesario acostumbrar a nuestra mente a practicar el ‘pensamiento lateral’ del que ya hemos hablado otras veces.


La rutina, la velocidad y las consecuencias de un cambio

enero 9, 2017

Adrián Paenza, profesor universitario conocido por su serie “Matemáticas, ¿estás ahí?”, nos plantea en esta ocasión un problema sencillo pero profundo a la vez. Sin apenas cálculos, su solución solo requiere pensar sin desechar ningún camino. Dice así:

”Un comerciante viaja a su trabajo todos los días usando el mismo tren, que sale de la misma estación y que tiene los mismos horarios, tanto de ida como de vuelta. Para colaborar con él, su mujer lo lleva por la mañana hasta la estación y luego lo pasa a buscar a las 5 de la tarde con su coche, de manera que pueda evitar el viaje en autobús. Para el problema en si, lo importante es que su mujer lo encuentra todos los días a la misma hora, a las 5 de la tarde, y viajan juntos hasta su casa.

reloj-03Un día, el marido termina su trabajo más temprano y toma un viaje previo que lo deja en la estación a las 4 de la tarde en lugar de a las 5, como era lo normal de cada día. Como hace un día espléndido, en vez de llamar a su mujer para contarle el cambio, decide empezar a caminar por la misma calle que usa ella para ir a buscarlo. Tal y como había previsto ambos se encuentran en el trayecto. Entonces, el marido se sube al auto y regresan juntos a su domicilio, al que llegan 10 minutos antes de lo habitual.

Si uno supone la situación ideal (e irreal también) de que:
a) La mujer viaja siempre a la misma velocidad,
b) Sale siempre a la misma hora de la casa para ir a buscar a su compañero,
c) El hombre se sube al auto de forma instantánea y sin perder tiempo, y
d) No aparece nada extraño en el camino, ni semáforos que dilaten o aceleren el tránsito, etc.

¿Puede usted determinar cuánto tiempo caminó el marido cuando su esposa lo encontró?”

Se trata de un problema que en principio puede desconcertar ante la escasez de datos para su resolución. No es así. Son suficientes. Solo hace falta pensar de un modo un poco ‘diferente’. Un buen ejemplo para poner a prueba nuestro ingenio. Como una pequeña aclaración solo añadir que no hace falta conocer ni la velocidad a la que iba el marido o de la mujer en su coche, ni tampoco la distancia entre el domicilio y la estación. Si acaso solo tener en cuenta lo señalado al final del enunciado.

Ver solución en “El truelo y una extraña paradoja”

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “El triángulo, su área y una pregunta capciosa”

A simple vista nuestro problema parece sencillo, pues bastaría recordar que el área de un triángulo es el resultado de multiplicar la base (10) por la altura (6) y dividir el producto por 2 (b*h/2). O lo que es lo mismo: 10*6/2= 30. Ahora bien, como muy bien dice el entrevistador, el triángulo rectángulo que nos ocupa no es posible. Y no lo es porque para un valor de la hipotenusa de 10, la altura máxima asociada la a misma nunca puede ser 6 sino 5. Una demostración sencilla.

Sabido es que el ángulo opuesto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 90º, mientras que los dos ángulos restantes son complementarios entre sí. Lo que nos lleva decir que, para un determinado valor de la misma, todos los triángulos posibles son los inscritos en una circunferencia cuyo diámetro sea la hipotenusa. Tal y como muestra la figura, se puede observar entonces como la altura asociada a la hipotenusa es máxima cuando es igual al radio de la circunferencia. Por tanto, si su longitud es 10, su altura relativa como máximo es 5, y su área 25. O bien si el valor de la altura (6) fuese correcto, no lo sería el de la hipotenusa (12), y su área 36. En cualquier caso, nunca podría existir un triángulo rectángulo como el indicado en el enunciado (hipotenusa 10 y altura asociada 6).

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El triángulo, su área, y una pregunta capciosa

noviembre 15, 2016

Problema muy interesante enviado por un amigo, compañero de estudios en la Universidad Laboral de Tarragona, en el que se mezclan recuerdos escolares, cálculos sencillos, y también ingenio. Me cuenta que se lo pasó otro amigo, en este caso de letras, abogado, diciéndole que no entendía por que habían suspendido al protagonista, aspirante a un trabajo en la firma Microsoft. Dice así:

Los procesos de selección de las empresas son muy exigentes. En el gigante Microsoft parece que no se andan con chiquitas y van un paso más allá. Eso, al menos, es lo que se extrae de las explicaciones de un estudiante de Informática del Instituto Nacional de Tecnología en Naranjal en La India. Prashant Bagdia no ha tenido contemplaciones contra la multinacional informática y ha relatado al portal Quora todos los detalles del proceso de selección que sufrió un amigo suyo que pretendía acceder a un trabajo en Microsoft. Al parecer, cuando la entrevista ya estaba tocando a su fin, el entrevistador soltó de repente una pregunta totalmente inesperada.

Sin título-2“Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa que mide 10 cm con una altura relativa o asociada a la misma de 6 cm. ¿Cuál es el área del triángulo?”

El amigo de Prashant (es lo que cuenta él) se quedó inmóvil en un primer momento. Luego dudó: ¿Por qué una compañía de software me hace una pregunta de geometría? ¿Tal vez es una pregunta trampa? ¿Tal vez no sea una pregunta trampa y sólo quiere ver como pienso en una cuestión tan insignificante?”, meditó.

Finalmente, decidió dar una respuesta aún con la idea de que podía ser una pregunta trampa.
“El área de cualquier triángulo es 0,5 de la base por la altura, con lo que la respuesta a esta pregunta sería 0,5 X 10 X 6, que es 30”.

“¿Seguro?”, inquirió el entrevistador. El amigo de Prashant se quedó pensando y respondió: “Sí, estoy seguro de que el área del triángulo es 30”. “Su respuesta es incorrecta. Esta ha sido la última pregunta de la entrevista. Puede esperar fuera hasta que le demos los resultados”, le espetó el entrevistador. “No puede existir, piense por qué”.

El aspirante se quedó de piedra. Sin embargo, antes de abandonar la sala preguntó cuál era la respuesta correcta. “El triángulo de la pregunta no puede existir nunca. Piense por qué”, fue la contestación que recibió del entrevistador de Microsoft.

Ver solución en “La rutina, la velocidad y las consecuencias de un cambio”
Está claro que la solución no es tan obvia como pueda parecer, ni tampoco tan difícil como algunos pueden pensar.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “El perro, el gato, la velocidad y el espacio”

La respuesta en principio parece clara. Leyendo el enunciado la primera apreciación es que gana… el gato. Veamos por qué:

– El gato necesitaría dar 100 saltos (cada uno de 2 pies) para cubrir la distancia de ida y vuelta, mientras que el perro lo haría en 68 saltos (cada uno de 3 pies) pues estaría obligado a recorrer 102 pies en lugar de 100 tanto a la ida como a la vuelta.
– Como el gato es más rápido que el perro, avanza 3 pies en cada salto en tanto que el perro solo 2, la relación de su velocidad estaría en la misma proporción (3 a 2). Es decir, cuando el gato ha dado sus 100 saltos, el perro aún no ha llegado a los 67 (100*2/3), por debajo de los 68 a los que se vería obligado para cubrir el trayecto completo.

Sin título-1Ahora bien, a pesar de esta respuesta, lógica por otra parte, todos los participantes estaban un poco ‘moscas’: ¡parecía demasiado sencilla a tenor de la recompensa! Además, el hecho de que Barnum, el famoso dueño del circo, hubiese hecho saber que daría la solución y entregaría los premios un primero de abril  (‘Día de tontos’ en la tradición norteamericana), y al mismo tiempo añadiese que… ‘ya no habría más gato encerrado sino liberado, para beneficio de los más interesados’, desconcertaba aún más.

Y así fue. Barnum se guardaba un as en la manga. Suponiendo que el gato se llama Terry y que el perro fuese una perra, Marlene, no cabe duda que la frase: ”El perro avanza tres pies a cada salto y el gato sólo dos, pero Marlene da tres saltos por cada dos de Terry” tendría un significado muy distinto, pues entonces el perro recorrería 9 pies y el gato solo alcanzaría 4 en la misma unidad de tiempo. En ese caso sería el perro el que ganaría la carrera al terminarla en 68 saltos, ya que el gato no habría llegado a los 46 (68*2/3), o lo que es lo mismo 90 pies y 8 pulgadas, una distancia inferior.