Velocidad, tiempo y distancia, el cocodrilo y la cebra

mayo 11, 2018

Con el fin de estimular la creatividad, en esta sección se suele plantear el enunciado de un problema para a continuación exponer la solución del anterior publicado. Solo ha habido una excepción (“El camino más corto entre la araña y la mosca”) donde su planteamiento y la solución se han dispuesto en un mismo post. Un problema en apariencia sencillo que en realidad no era así; de ahí que para no provocar el desánimo se optase por hacerlo en conjunto.

Desde siempre a muchas personas les atraen los ‘problemas curiosos’; aquellos que suelen despertar interés bien por un entretenido enunciado o lo ingenioso de la solución que no coincide con la más ‘lógica’ a primera vista. Un tipo de planteamientos que, además de servir de distracción, ejercitan, y mucho, la inteligencia. Aunque por distinto motivo, este es el caso que nos ocupa. Un problema de solución compleja que requiere ciertos conocimientos matemáticos, no muy habituales en esta sección más enfocada a supuestos sencillos, apenas cálculos, que hagan ‘pensar’ en cualquier ‘dirección’. Si bien hay que decir, y esta es la razón de fondo, que en el expuesto a continuación ha habido de todo: ¡hasta quienes han llegado a la solución correcta mediante simples conocimientos de geometría! Eso si, una respuesta que, por las circunstancias y controversias que ha generado, ha sido objeto de mucho debate. Se cuenta que fueron unos estudiantes escoceses quienes tuvieron que enfrentarse a este complicado ejercicio en su prueba de Selectividad (Scottish Qualificarions Authority- SQA) y no les resultó nada fácil, pues la nota mínima se tuvo que bajar hasta un 3,4 sobre 10 según señala la BBC. Dice así:

“Los protagonistas son un cocodrilo y una cebra a la que quiere dar caza, que está situada a 20 metros de distancia en el otro lado de un río.
Nota.- Como es sabido, los cocodrilos se mueven a una velocidad diferente según lo hagan por tierra (son más rápidos) que por agua.

El tiempo que el cocodrilo necesita para alcanzar a su presa puede reducirse si nada ‘X’ metros corriente arriba hasta un punto ‘P’. El tiempo que tarda, ‘T’, se mide en décimas de segundo y está definido por la fórmula T (x) = 5 v36+x2+ 4 (20-x).

Las preguntas son las siguientes:
1- Calcula cuanto tiempo necesita el cocodrilo si no va por tierra
2- Calcula el tiempo que necesita el cocodrilo si nada el mínimo posible.
3- ¿De acuerdo con estos dos extremos, cuál es el valor de X que da el tiempo mínimo posible para alcanzar la presa?”

Como información complementaria que ayude en la búsqueda de la solución decir que:
a) Se debe tener en cuenta que si se minimiza el tiempo en el agua se recorrerán 20 metros a la máxima velocidad, aunque la distancia será la máxima recorrida por el cocodrilo.
b) Si por el contrario se hace todo por el agua, el cocodrilo recorrerá la distancia mínima, pero a una velocidad menor.

SOLUCIÓN

Ya se indicó que no es un problema fácil; de ahí que se pueda dar por válido con solo un planteamiento correcto. Como se ha señalado, el principal interés viene motivado por las muchas controversias generadas. Tantas que no todos están de acuerdo en cual es la solución correcta.

Imaginamos que habrá habido muchas dudas a la hora de su enfoque: unos se habrán quedado ‘atascados’, otros ‘llegado’ a un planteamiento más o menos correcto, y alguno habrá conseguido, suponemos, completar la solución. Una respuesta bastante ‘compleja’ a tenor de los resultados. En primer lugar por los propios alumnos escoceses objeto del examen. Aunque insistimos: ¡lo más importante es haber sido capaces de llegar al planteamiento! Con ello uno se puede dar por satisfecho.

Para los interesados en la resolución completa, en este blog se difunde paso a paso. El secreto está en que si se reduce el tiempo en el agua (recorrido por los catetos) se pueden cubrir 20 metros a velocidad máxima; en cambio, si se hace todo sobre el agua la distancia sería minima, pero a una velocidad menor.

En el siguiente vídeo se explica otra alternativa.

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La isla de los ojos azules, un atractivo juego de lógica

marzo 9, 2018

Es un hecho que los problemas de lógica son atractivos para pasar un buen rato. En esta ocasión traemos un acertijo del conocido matemático argentino Adrián Paenza donde a la aplicación del pensamiento lateral, siendo importante, no le viene mal un poco de sentido común. Para su resolución no se necesitan conocimientos matemáticos; tan solo capacidad de razonar, eso sí no siempre por los caminos más comunes o esperados. Dice así:

“En una isla hay 100 habitantes. Todos ellos tienen o bien ojos azules o bien ojos marrones. Todos ven el color de los otros, pero no el suyo propio. Está prohibido hablar entre ellos de ese tema. No hay espejos ni trampas posibles. Eso sí: hay una ley en la isla que establece que si alguien ‘descubre’ que tiene ojos azules, debe abandonarla inexorablemente a las 8 de la mañana del día siguiente. Todos los pobladores tienen la misma capacidad para razonar y todos son capaces de usar una lógica impecable.

Un día, una persona llega de visita a la isla y, mientras los mira a todos, dice: “¡Qué bueno es ver al menos una persona con ojos azules después de tanto tiempo de estar en alta mar!”

Ahora es cuando toca pensar para buscar respuesta a estas preguntas:
¿Qué consecuencias trajo esta frase entre los habitantes de la isla? Es decir, una vez que los pobladores escucharon al visitante decir que había al menos uno de ellos que tenía ojos azules.
¿Qué es lo que ocurrió después?

La solución en un próximo post.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Los trenes, la mosca aplastada y la velocidad relativa”.

Una manera sencilla de enfocar este problema, sin introducirse en extraños vericuetos, cálculos engorrosos, series numéricas u otro tipo de peripecias (que también son válidas) es la siguiente:

En el momento de partida los dos trenes se encuentran a una distancia de 100 Km y su velocidad es de 50 Km/h. Por tanto tardarán 1 hora en encontrarse (justo a mitad del camino); tiempo que es el mismo que la mosca estuvo volando antes del choque. Dicho esto, solo nos quedará averiguar la distancia recorrida. Algo muy fácil. Si la velocidad de la mosca es de 70 Km/h, está claro que al cabo de 1 hora habrá recorrido… 70 Km.

La segunda parte del problema es algo menos ‘sencilla’. Al cambiar la mosca su velocidad de 70 Km/h (mayor que la de cada uno de los trenes) a 35 Km/h (inferior a la de ambos), se da un supuesto que suele crear algo de confusión si uno pretende guiarse por cálculos matemáticos. Sin embargo, su resolución no es difícil si hacemos que entre en escena el pensamiento lateral, y apelamos al sentido común, que nos llevaría a la siguiente conclusión: “La mosca es incapaz de salir de la primera locomotora. Por tanto su recorrido es nulo”. Su velocidad (35 Km/h) es inferior a la de la máquina (50 Km/h), por tanto quedaría ‘pegada’ a la misma sin poder realizar ningún desplazamiento. Hay quien apunta otra solución señalando que, si la mosca pudiese salir por un lateral de la máquina, en el momento del choque habría recorrido 35 Km y se encontraría a 15 Km (50-35) del lugar del impacto. Una solución que podría ser válida si respondiese (que no es así) al enunciado de un problema que hace clara referencia a una… mosca ‘aplastada’ en el choque.

Circula una curiosa anécdota, más bien una leyenda, sobre el célebre matemático húngaro-norteamericano John Von Neumann, uno de los grandes científicos del siglo XX, que contribuyó de forma notable al avance de la física cuántica, teoría de juegos, ciencias de la computación y el análisis numérico, al que le plantearon el mismo problema. Su interlocutor, con una mezcla de asombro y decepción por su rápida respuesta, le dijo: “Casi todo el mundo intenta resolverlo sumando la serie infinita… ¡Seguro que usted conocía el truco!” A lo que Von Neumann contestó: “¿Qué truco? ¡Así es cómo yo lo he hecho!”. Es normal que nuestra lógica mental nos lleve a pensar que la mosca toca cada tren un número de veces antes de morir aplastada, por lo que una forma de de resolverlo sería sumando la serie (‘infinita’) de distancias, pero sería la manera más larga y complicada de hacerlo.


Reinosa y las témporas, una tradición centenaria en muchos sitios de España

enero 26, 2018

Aunque sin una base científica, las témporas son una tradición popular muy seguida. En Reinosa, como en otros muchos lugares, siempre han sido muy esperadas. Sobre todo las témporas de verano e invierno. Con un clima duro, cuando se acerca la época estas dos estaciones son objeto de muchas especulaciones entre los vecinos. Al igual que el resto de España, en los últimos años, el tiempo en Reinosa… ¡ya no es lo que era! Para bien o quizás mejor… para mal, ¡todo se ha ‘suavizado! Todo menos las témporas que mantienen su interés a menudo acompañadas por la frase: “Ha dicho el pastor que…”. Eso si, cuando alguien pregunta por el ‘pastor’, nadie sabía concretar quien es. Y es que las témporas también tienen su por qué.

Pero antes, hagamos un poco de historia. La palabra témpora es el plural de la latina ‘tempus’ cuyo significado es ‘tiempo’ y ‘estación’. Hasta no hace mucho figuraban en el calendario de la Iglesia Católica como pequeños ciclos litúrgicos dedicados en especial a la plegaria y la penitencia correspondientes al final e inicio de las cuatro estaciones del año. En sus inicios su objeto era ofrecer un tiempo para dar gracias a Dios por los beneficios recibidos de la tierra y rogar su bendición sobre las siembras, incluyendo también actos penitenciales colectivos, con ayuno incluido, para purificar el espíritu.

Año litúrgico tradicional (Foto: New Liturgical Movement). En un principio las témporas se celebraban en otoño, invierno y verano (meses de septiembre, diciembre y junio). Las témporas de primavera no estaban incluidas en el ciclo ya que caían en medio de la Cuaresma, tiempo ya dedicado especialmente a la oración y el ayuno.

El origen de las témporas no está muy claro. Según algunas fuentes se podría encontrar en el Antiguo Testamento cuando el profeta Zacarías hace referencia a un ayuno especial que debe observarse el 4º, 5º, 6º, 7º y 10º mes del año y que “se tornará en gozo y regocijo y en festivas solemnidades”. Sin embargo, hay quienes señalan que la institución de las témporas fue establecida por la Iglesia a principios del siglo III en sustitución de los festejos paganos de las distintas ferias de la cosecha, vendimia y siembra; si bien hay que decir no se cumplió en Occidente hasta el siglo XII y que nunca fueron aceptadas por los cristianos de Oriente. Finalmente otras fuentes cuentan que fue el Papa Siricio (384-399) quien, buscando la moderación, las impuso para oponerse a los ataques en contra del ayuno de Joviniano, monje y teólogo cristiano contrario al ascetismo y por lo cual fue considerado hereje.

La tradición popular, sobre todo en todo el norte de España, ha utilizado las témporas para predecir el tiempo de las cuatro estaciones (primavera, verano, otoño e invierno). Aunque los días de predicción suelen ser los mismos, su interpretación cambia dependiendo del lugar y son el resultado de observar el tiempo habido en los días que a continuación se indican:
– Primavera: miércoles, viernes y sábado de la segunda semana de Cuaresma (período de cuarenta y seis días, desde el miércoles de ceniza hasta la víspera del domingo de Resurrección, tiempo litúrgico destinado a la preparación espiritual de la fiesta de la Pascua).
– Verano: miércoles, viernes y sábado de la primera semana después de Pentecostés (quincuagésimo día del Tiempo Pascual, al que pone término).
– Otoño: miércoles, viernes y sábado siguientes al 14 de septiembre (día de la Exaltación de la Santa Cruz). Si ese día cayese en miércoles, entonces las témporas serían el miércoles, viernes y sábado de la semana siguiente.
– Invierno: miércoles, viernes y sábado siguientes al 13 de diciembre (día de Santa Lucía). Si ese día cayese en miércoles, entonces serían el miércoles, viernes y sábado de la semana siguiente.

Días de predicción de témporas para cada una de las estaciones señalados por Jerónimo de Chaves (1523 – 1574), erudito español del siglo XVI, matemático, cosmógrafo e historiador, en su obra “Chronographia o reportorio de tiempos” (‘Cronología o repertorio de los tiempos’).

Aunque existen otros, se utilizan dos métodos principalmente para realizar la predicción meteorológica de cada témpora.
1.- Basado en la dirección del viento (el más habitual).
En este caso, el viento predominante en la siguiente estación será aquel que también lo haya sido en los días de témpora (hay quienes lo reducen a la dirección a una hora determinada). Así por ejemplo, si en las témporas de invierno predominase el viento sur, y éste en el lugar de que se trate diese lugar normalmente a aire seco y cielos despejados, el pronóstico sería de un próximo invierno seco.
2.- Basado en la observación independiente de cada día de témporas.
Según este método, cada mes de la siguiente estación tendrá el mismo tiempo meteorológico que el que hiciese en cada uno de los días de témporas. Así, si en las témporas de verano se observase que el miércoles llueve y hay viento sur cálido, el viernes deja de llover y continúa el viento sur, y el sábado sube mucho la temperatura y el cielo está despejado, la predicción para el primer mes de verano sería (en términos generales) húmedo y cálido (como el miércoles de témporas); el segundo sería menos húmedo y temperaturas más altas (como el viernes de témporas); y el tercero sería muy seco y caluroso (como lo fue el sábado de témporas).

A pesar de que se trata de un método sin base científica, lo cierto es que a nivel popular era, y aún sigue siendo, una tradición muy seguida en muchos lugares de nuestro país. Si nos remontamos a bastantes años atrás, un ejemplo de los muchos existentes es el del escritor cántabro José María de Pereda en su novela ‘El sabor de la Tierruca’ donde hace referencia al pronóstico de témporas:
“… Las témporas de San Mateo habían quedado al Sur; y, según el almanaque montañés, así debía seguir el tiempo hasta las de Navidad, lo cual vendría de perlas para secar el maíz y las castañas y asegurar una excelente ’pación’ a los ganados, al derrotarse las mieses. Y el pronóstico se iba cumpliendo hasta entonces. Estaba, pues, el día como de Sur en calma: bochornoso y pesado…”.

Otro ejemplo, este muy reciente, sobre la predicción de témporas, es el publicado en un artículo del diario La Nueva España de Oviedo para este invierno, que arrancaba con el siguiente titular: “Invierno sin lluvias según las témporas”. Lo afirmaba un ‘experto’ reconocido y señalaba: “No va a ser un mal invierno y va a helar más que llover, aunque también lloverá. Pero no va a ser un invierno muy crudo. Además la luna nueva, que entró el día 18 de diciembre, lo hizo sin que lloviera. También es una ayuda para la témpora. Así que no se esperan precipitaciones en los próximos días”. Pronóstico por otra parte coincidente con el de la Agencia Estatal de Meteorología (Aemet) que indica será una estación con pocas lluvias y más cálida de lo habitual.  Por fortuna, y a pesar de ambas predicciones, las de témporas y de Aemet, al menos en el Norte de España este primer mes de invierno ha sido bastante lluvioso.

Nevada 1978. Carretera Reinosa-Alto Campoo a su paso por Nestares. Coincidió, y se cumplió, con una predicción de témporas con predominio del viento Sur.

Las témporas, aunque carecen de rigor, tienen valor como tradición. Son parte de nuestro patrimonio cultural. Desde siempre, entre las gentes de Reinosa cuando se acercaba sobre todo el verano o el invierno era frecuente conversar sobre el tiempo venidero. Y casi siempre se decía… ¿Cómo han quedado las témporas?… ¡Témporas, una tradición viva en Reinosa!


Los trenes, la mosca aplastada y la velocidad relativa

enero 16, 2018

Determinados problemas matemáticos ‘permanecen’ en el tiempo, en especial aquellos con una larga historia detrás. Este es uno de ellos. De los más conocidos en el ámbito de la Matemática Recreativa, su enunciado es muy sencillo y su solución… también. Dice así:

Supongamos dos trenes, ambos por la misma vía, que están a punto de recorrer un camino de 100 kilómetros en dirección contraria. Por tanto, en algún momento chocarán de frente. Su velocidad es la misma: 50 Km/hora.

Situada en la locomotora de uno de los ellos, hay una mosca que tiene la ‘rara’ habilidad de volar muy rápidamente a 70 Km/hora. Además, le ocurre un fenómeno muy curioso: cuando los trenes se pongan en marcha simultáneamente empezará a recorrer la distancia que media entre uno y otro. Y lo hace de modo que una vez que llega a la locomotora que encuentra de frente se dará la vuelta instantáneamente dirigiéndose de nuevo hacia la otra máquina. El proceso se repite hasta que los dos trenes chocan entre sí (con la mosca en el medio).

¿Cuántos kilómetros recorrerá la mosca antes de morir aplastada entre las dos locomotoras? ¿Y cuanto habría recorrido si su velocidad hubiera sido de 35 Km/hora (justo la mitad) en lugar de los 70 Km/hora indicados?

Ver solución en “La isla de los ojos azules, un atractivo juego de lógica”.

A continuación unas reflexiones de Adrián Paenza, conocido matemático argentino del que ya hemos hablado en otros post, acerca de su visión del problema:
a) Si se elige el camino adecuado pronto, y por tanto se encuentra la solución con rapidez,
es posible que no se entienda el por qué de lo dicho al inicio: ¡parecerá ‘un problema más’!
b) Si se tiene que emplear más tiempo en buscar la solución, pero se halla el camino correcto para llegar al resultado: ¡se ‘disfrutará’ durante el ‘trayecto’!
c) Finalmente, si se invierte un tiempo más que suficiente para pensarlo sin llegar a ningún lado: ¡no abandone!

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Los cinco discos y la inteligencia racional”.

El sabio Beremís, el ‘hombre que calculaba’ como también se le conocía, expuso sin inmutarse la solución: “El príncipe Aradín le dijo al rey Cassim: ‘Mi disco es blanco’”.

Tal y como se muestra en el cuadro adjunto, hizo el siguiente razonamiento:
Nota.- Se observará que en las diversas hipótesis no incluyó, por no considerarlo necesario, el color del disco del príncipe Camozan, primer concursante interrogado.

“Admitida la primera hipótesis; esto es, si mi disco fuera negro y el de Benefir negro, el primer concursante no habría errado, pues viendo dos discos negros sabría (con absoluta certeza) que su disco era blanco y habría respondido acertadamente. Por tanto, si el primero se equivocó fue porque tuvo dudas, y ello sólo sería posible si hubiera visto un disco negro y otro blanco o dos blancos. Es evidente que la hipótesis I no es aceptable y debe ser, por consiguiente, desechada. Quedan, por tanto, las hipótesis II, III y IV”.

“Veamos ahora la hipótesis II: Negro (Yo), Blanco (Benefir). Diría entonces el príncipe Aradín: Admitamos que la hipótesis II fuese verdadera y supongamos que el disco (A) fuese negro, y el disco (B), de Benefir, blanco. Entonces, el príncipe Benefir, que es muy inteligente, sabiendo en virtud del razonamiento (como consecuencia del error del primero) que nuestros discos no podían ser negros (como ya probé) concluiría diciendo que el de él era blanco y habría acertado. Si Benefir erró, fue porque tuvo dudas, y esa duda solo podría surgir del hecho de haber visto en mis espaldas un disco blanco”.

“Desechada la hipótesis II, como acabo de probar, sólo quedan las III y IV. En cualquiera de las dos hipótesis, mi disco es blanco”.


Los cinco discos y la inteligencia racional

noviembre 15, 2017

Puede ser un buen momento para volver a recordar a Beremiz Samir, célebre protagonista de ‘El hombre que calculaba’ de Malba Tahan que tantos seguidores tiene. Un libro que llama la atención por la forma sencilla de plantear problemas de una manera práctica, en algunos casos en apariencia difíciles, pero siempre amenos. Una obra que destaca por estimular el arte en su resolución a la vez que el entusiasmo por las Matemáticas. Centrada en la historia de Beremíz, joven persa, hábil calculista, sus problemas ambientados en el Bagdad del siglo XIII suele estar aderezados con unos interesantes y divertidos preámbulos. En esta ocasión cuenta la decisión de una joven princesa para elegir a uno de sus tres pretendientes. Con algunos rasgos similares a la propuesta realizada en el post ‘El acertijo de los tres sombreros’, dice así.

Masudi, el famoso historiador árabe, habla, en los veintidós volúmenes de su obra, de los siete mares, de los grandes ríos, de los elefantes célebres, de los astros, de las montañas, de los diferentes reyes de China y de mil otras cosas, y no hace la menor referencia a Dahizé, hija única del rey Cassim, el “Indeciso”. No importa. A pesar de todo, Dahizé no será olvidada, pues entre los manuscritos árabes antiguos fueron encontrados más de cuatrocientos mil versos en los cuales centenares de poetas loaban y exaltaban los encantos y virtudes de la hermosa princesa. La tinta utilizada para describir la belleza de los ojos de Dahizé, transformada en aceite, alcanzaría para iluminar la ciudad del Cairo durante medio siglo.
– ¡Qué exageración!, diréis.
No admito la exageración, hermano de los árabes. La exageración es una forma disfrazada de mentir.
Pasemos, sin embargo, al caso que nos interesa.

“Cuando Dahizé cumplió 18 años de edad, fue pedida en matrimonio por tres príncipes cuyos nombres perpetuó la tradición: Aradín, Benefir y Camozan.
El rey Bassin quedó indeciso. ¿Cómo elegir entre los tres ricos pretendientes a aquel que sería el novio de su hija? Hecha la elección, la consecuencia inevitable sería que él, el rey, ganaría un yerno, pero, en cambio, se haría de dos rencorosos enemigos. Mal negocio para un monarca sensato y prudente, que deseaba vivir en paz con su pueblo y sus vecinos.

Consultada la princesa Dahizé, declaró que se casaría con el más inteligente de sus admiradores.
La decisión de la joven fue recibida con alegría por el rey Cassim. El caso, que parecía tan complicado, tenía, sin embargo, una solución muy simple. El soberano árabe mandó llamar a cinco de los más grandes sabios de la Corte y les dijo que sometiesen a los príncipes a un riguroso examen.

Terminadas las pruebas, los sabios presentaron al rey un minucioso informe. Los tres príncipes eran inteligentísimos. Conocían profundamente la Matemática, Literatura, Astronomía y Física; resolvían complicados problemas de ajedrez, cuestiones sutilísimas de Geometría, enigmas arrevesados y oscuras charadas.
– No hallamos medio alguno –concluyeron los sabios- que nos permitiese llegar a un resultado definitivo a favor de uno o de otro.

Frente a ese lamentable fracaso de la ciencia, resolvió el rey consultar a un derviche (en el sentido más habitual de la palabra, un miembro de una tariqa, es decir, una cofradía religiosa musulmana de carácter ascético o místico (sufí), que tenía fama de conocer la magia y los secretos del ocultismo.
El sabio derviche dijo al rey:
– Sólo conozco un medio que permitirá determinar cuál es el más inteligente de los tres. Es la prueba de los cinco discos.
– Hagamos, pues, esa prueba –accedió el rey.

Los príncipes fueron llevados al palacio. El derviche, mostrándoles cinco discos de cartón, les dijo:
– He aquí cinco discos, dos de los cuales son negros y tres blancos. Observen que son del mismo tamaño y del mismo peso, y que solo difieren en el color.
A continuación un paje vendó cuidadosamente los ojos de los tres príncipes, impidiéndoles así ver la menor luz.
El viejo derviche tomó entonces al azar tres de los cinco discos y los prendió a la espada de los tres príncipes.
Dijo entonces el derviche:
– Cada uno de vosotros lleva a cuestas un disco, cuyo color ignora. Seréis interrogados uno a uno. Aquel que descubra el color del disco que le cupo en suerte, será declarado vencedor y se casará con la linda Dahizé. El primero que sea interrogado podrá ver los discos de los otros dos concursantes; al segundo le será permitido ver el disco del último. Este tendrá que formular la respuesta sin ver disco alguno. Aquel que formule la respuesta exacta, para probar que no fue favorecido por el azar, tendrá que justificarla por medio de un razonamiento riguroso, metódico y simple. ¿Cuál de vosotros desea ser el primero?

Respondió prontamente el príncipe Camozan:
– Quiero ser el primero en responder.
El paje retiro la venda que cubría los ojos del príncipe Camozan, y este pudo ver el color de los discos que se hallaban sobre las espaldas de sus rivales.
Interrogado, en secreto, por el derviche, no acertó en su respuesta. Fue declarado vencido, y debió retirarse de la sala.
El rey anunció en voz alta, a fin de prevenir a los otros dos:
– El joven Camozan acaba de fracasar.

– Quiero ser el segundo –dijo el príncipe Benefir.
Desvendados los ojos, el príncipe vio la espalda de su competidor y vio el color de su disco. Aproximose al derviche y le dijo en secreto su respuesta:
El derviche sacudió negativamente la cabeza. El segundo príncipe había errado, y fue, por consiguiente, invitado a dejar el salón.
Quedaba aún el tercer concursante, el príncipe Aradín.

Este, luego que el rey anunció la derrota del segundo pretendiente, se aproximó al trono, con los ojos vendados, y dijo en voz alta el color de su disco.
El sabio cordobés, dirigiéndose al calculista, le preguntó:
– Deseo saber cuál fue la respuesta del príncipe Aradín y cuál el razonamiento hecho por el príncipe, que lo llevó a resolver con seguridad el problema de los cinco discos”.

Ver solución en “Los trenes, la mosca aplastada y la velocidad relativa”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Del coronel al soldado y viceversa: reparto de 28 caballos en 7 cuadras”.

Convertido ya en un clásico, su enunciado se acerca más a un relato de humor que a un problema matemático. Por hacer un breve recordatorio veamos los errores cometidos:

– El fallo más importante de la división propuesta por el coronel es empezar la operación por la derecha. A primera vista puede no parecer excéntrico si tenemos en cuenta que tanto la suma, como la resta o la multiplicación se inician precisamente por ese lado (derecho). Sin embargo, la división es la única de las ‘4 reglas’ que se hace por el lado opuesto (izquierdo). Además de la confusión que ya plantea lo dicho, se comienza por repartir la cifra de mayor orden entre la cifra del divisor. Un error que se repite en la comprobación final con una especie de ‘prueba del 9′, por llamarla de alguna forma, cuando procede a contar las patas de los caballos de la siguiente manera: hay 16 y como cada caballo tiene 4, divide 16 entre 4 para ver cuántos hay, ‘confirmando’ que cada cuadra contiene 13 caballos.

– En la ‘comprobación’ por el capitán de la multiplicación 13×7 se vuelve a cometer un error similar: colocar 1×7 bajo las unidades; aunque, para que hubiera salido bien, bastaría recordar que no eran 13 sino 1+3 lo que se multiplicaba por 7 y que a nadie debería sorprender.

– Pero quizás lo más ‘llamativo’, si algo pudiera ser más que lo dicho, es cuando el sargento realiza el cálculo de la suma colocando los siete 13 uno encima del otro y se dispone a ‘operar’ cometiendo de nuevo el mismo ‘error: suma siete veces 3, da 21, y añade siete veces 1 para aparecer los 28 caballos que eran los entregados.

En realidad se trata de un relato que pone de manifiesto cómo, tras la ‘ignorancia’ matemática, con la osadía se puede llegar a cualquier resultado por extraño que parezca. Algo que en un tono narrativo divertido ha convertido a este ‘problema’ en un ‘clásico’, que ha sido traducido a una gran cantidad de idiomas y por tanto de países.


La sequía en España, los otros recursos hídricos

octubre 30, 2017

A finales de septiembre terminó, y lo hizo con cifras preocupantes, lo que en el argot científico se denomina ‘año hidrológico’, período que mide las precipitaciones habidas en los últimos 12 meses. Los resultados han sido malos, muy malos, los peores del último lustro. Se puede afirmar que la sequía y la falta de agua en los embalses superficiales se han instalado en España.

Antes de proseguir conviene aclarar como se determina una situación de sequía, algo que ocurre cuando durante un periodo de tiempo el valor de las precipitaciones es inferior a lo que se considera ‘normal’. En principio la causa inicial es la escasez de lluvias (sequía meteorológica), que a su vez provoca una insuficiencia de recursos hídricos (sequía hidrológica), justo lo que ha sucedido en el período que abarca desde el 1 de octubre de 2016 al 30 de septiembre de 2017. Según AEMET (Agencia Española de Meteorología) el año se ha cerrado con un valor medio de 550 litros/m2 para el conjunto de España, un 15 % inferior a la media histórica (‘normal’) del período 1981-2010 que está en 648 litros/m2. Y lo que es peor, al contrario que otras ocasiones, se ha notado en la mayoría de las cuencas de nuestro país. Basta observar los pantanos con sus embalses bajo mínimos o los cortes de agua obligados por una situación complicada. El nivel de reserva es tan bajo que han salido a la superficie pueblos que llevaban tiempo sumergidos bajo el agua. Con una primavera seca, muy seca, se ha llegado al extremo de que muchas regiones del Norte como Galicia, Asturias o Cantabria se han incorporado a la situación de déficit de lluvias, algo no habitual en comunidades que siempre han actuado de contrapeso. En realidad el problema no es de ahora, España lleva con un valor de las precipitaciones inferior a lo normal desde el año 2014, incidiendo de forma directa en la cantidad de agua embalsada y provocando que la sequía meteorológica desemboque sin remedio en una sequía hidrológica.

Una pregunta que mucha gente se hace, y con difícil respuesta, es: ¿Cada vez va a llover menos en nuestro país? A pesar de que los pantanos se encuentran al 39 % de su capacidad, el más bajo de la última década, los expertos señalan que las estadísticas no lo dicen todo. A decir verdad, en el año 2006 se registró un porcentaje menor y en los últimos 27 años (desde 1990) lo hizo en seis ocasiones; si bien en estos casos, amén del ‘cambio climático’ que cada vez tiene más importancia, tuvieron también incidencia, sobre todo en los años 90, las fuertes pérdidas en las redes de abastecimiento, mucho mayores que en la actualidad. Otro aspecto a considerar es que España siempre ha tenido un comportamiento cíclico con las sequías, pues ha habido temporadas largas de sequía (hasta dos lustros) que luego se han recuperado. Quizás lo más llamativo de la sequía actual es que ha afectado a zonas del Norte, incluso Centro y algo menos al Sur, motivo que tiene un poco desconcertados a algunos científicos de que pueda ser para siempre; es decir, que sea irreversible o no.

Situación del agua embalsada por cuencas a fecha 1ª semana de octubre 2017.

En la actualidad en casi todas las cuencas españolas existen áreas de clara preocupación por la sequía, aunque es preciso aclarar que para conocer el estado de una cuenca el dato del porcentaje de agua embalsada en los pantanos es solo uno de los indicadores. Pero no el único. Es muy común pensar que debajo del suelo no existe nada, que fuese impenetrable. ¡Como si no hubiera más recursos hídricos disponibles! Francisco Turrión, hidrogeólogo de la Confederación Hidrográfica del Segura, señala al respecto: “Evaluamos la sequía en función de los embalses superficiales y no contamos con el agua subterránea”. Y añade una interesante reflexión con datos que pueden sorprender a más de uno: “Si en estos momentos se preguntase por la situación de Mallorca, a pesar de que allí no existen embalses superficiales, se diría que sus recursos hídricos estarían al 80 %. No deja de ser curioso que cuando se traslada esa misma pregunta a la península, no se sabe muy bien por qué, no se refleja esa doble información y se hace únicamente referencia a la situación en nuestros pantanos”. Quizás se deba a la ‘tradición’ de nuestro país de una política hidráulica basada en construir embalses, presas, etc., con escasa o muy poca información o especialistas expertos en incluir la aportación debida a las aguas subterráneas. Sin embargo, en las Islas Baleares como no hay posibilidad de trasvases, ni tampoco construir embalses porque el terreno es muy poroso, ya se han acostumbrado y se abastecen y viven de las aguas subterráneas. A la vista de todo lo expuesto, parece lógico incidir en que cuando se analice la situación en la Península se deberían incluir los dos aspectos: los embalses superficiales (pantanos) que en la actualidad se encuentran al 39 % de su capacidad y los embalses subterráneos al 70 %, por indicar una cifra solo como ejemplo, Por tanto, se plantean algunas preguntas acerca de la política ‘tradicional’ que nos ha venido tan bien en todo este tiempo al permitir superar algunos déficits hídricos propios: ¿Podríamos decir que está obsoleta? ¿Habría que cambiarla y pensar en explotar más los acuíferos de otra manera? La respuesta es si y además utilizarlos de forma sostenible.

Pantano del Ebro. Torre de la antigua iglesia de Villanueva en las Rozas de Valdearroyo, pueblo cercano a Reinosa.

En general, los acuíferos tienen dos componentes: uno el agua embalsada y otro los recursos renovables; o lo que es lo mismo el agua que entra y sale. Se suele tener una idea equivocada al creer que todos los acuíferos desembocan en los ríos. En parte es cierto, pero también lo es que existe un flujo subterráneo, sobre todo en las cuencas mediterráneas que son calizas, porosas o con oquedades, que no pasa por los ríos, sino que va directamente al mar. Se trata de lo que en el argot técnico se denomina SGD (flujo subterráneo), que no es más que la descarga subterránea submarina y que en el Mediterráneo, según recientes estudios de investigadores del Instituto de Ciencia y Tecnología Ambientales del la Universidad Autónoma de Barcelona, está entre 1 y 15 veces el flujo fluvial. Así por ejemplo, señala Francisco Turrión, por cada río Segura o Júcar hay al menos otro o más (hasta 15) que está yendo al mar de forma subterránea. En concreto, en el plan hidrológico del Júcar se señala que van al mar de forma subterránea 535 hectómetros. Más que el trasvase Tajo-Segura.

Se conoce bien como se recarga un embalse superficial: ¡con la lluvia! Sin embargo, y aunque solo sea por mera curiosidad, una de las dudas que le surgen a la persona de la calle es como lo hacen el resto de los acuíferos. Si como parece la tendencia es que cada vez llueva menos en la península Ibérica se nos plantea un problema importante. Un problema de orden de magnitud. Y no solo en un tipo de acuífero, sino en todos ellos. Se suele pensar que los acuíferos son como pequeñas balsas que tienen agua, que en cuanto se utilicen lo normal es que se sequen. Sin embargo, el Instituto Geológico y Minero en diferentes estudios ha reflejado que la cuenca del Segura tiene 100.000 hectómetros embalsados, 100 veces más que los pantanos superficiales. Entonces… ¿cómo se recargan los distintos acuíferos? La respuesta es obvia: ¡también por la lluvia! Pero con un aspecto fundamental que no se suele tener en cuenta: ¡la normativa obliga a calcular lo que se conoce como las transferencias laterales! A los acuíferos no solo les llega el agua que les cae de encima, ni el agua de retorno de regadío, sino que del acuífero vecino también le está entrando lateralmente un flujo importante, a la vez que por si mismo está cediendo otra parte. ¡Y así hasta llegar al mar! Por tanto, se puede afirmar que en la mayoría de los casos no se ha cubicado bien su situación real. Por poner un ejemplo, es el caso de la cuenca del Segura, aunque si se ha tenido en cuenta en el plan hidrológico del Júcar.

Distribución y gestión de los distintos recursos hídricos.

Existe también una gran confusión sobre como son los acuíferos. Por hacer más descriptiva la explicación, en general se supone que se parecen a una piscina donde si se coloca la mano en el borde de un extremo y le faltan, por ejemplo, 20 cm. para llegar al agua, en el lado opuesto ocurrirá lo mismo. Pues bien, no es así. En la mayoría de ellos el agua funciona por presión. Así, si por ejemplo se hace un pozo a 300 m. de profundidad atravesando un material impermeable de rocas sedimentarias, pero a 1,70 m. se tropieza con una caliza con agua a presión, y esa caliza se mueve y se sitúa a 1,80 m. de la superficie, nos podemos hacer las siguientes preguntas con sus respuestas aclaratorias. ¿Donde se encuentra el acuífero?: a 1,70 m. ¿Donde se está tocando el agua?: a 1,80 m. Si entonces se bombea ese agua, lógicamente el nivel de 1,80 irá bajando situándose poco a poco a 1,81, 1,82,… 1,90… en una gráfica descendente si continúa la operación. ¿Quiere decir esto que se ha secado el acuífero? No. ¿Qué es lo que ha bajado? La presión ¿El acuífero donde se encuentra? A 300 m., profundidad inicial del pozo ¿Cómo está? Lleno. Lo único que ha ocurrido es que la presión con la que ascendía el agua la hacía llegar al inicio a 1,70, luego a 1,80 y sucesivamente bajando según se iba bombeando. Existe un error muy común en la interpretación de estas gráficas al pensar que su sentido descendente es similar al de un embalse. No es así: ¡el acuífero sigue lleno!, solo se debe a la presión con que sube el agua.

La situación de sequía no sería tan grave si se gestionaran bien los recursos hídricos disponibles. Es totalmente ficticio hacer una valoración solo en función de los embalses superficiales y no contabilizar o tener en cuenta el agua de los acuíferos subterráneos. Además se deberían utilizar todos de forma sostenible. ¿Por quien? Por el Estado que al ser el responsable de la gestión de los embalses superficiales debería serlo asimismo del agua subterránea. En un ejemplo real Francisco Turrión señala: “En el año 2004-2009 en la cuenca del Segura con una sequía como la actual se hizo una batería de pozos y gracias a ella se movilizaron 135 hectómetros, agua que se puso a disposición del río y las acequias y no hubo manifestaciones ni problemas. Ese sistema gestionó por tanto 135 hectómetros más. Esos pozos se hicieron hace 10 años. ¿Qué hubiera pasado si hubiéramos aprendido la lección y hecho más pozos? La respuesta parece evidente”.

Una de las mayores dificultades que siempre ha tenido la estructura hidrológica de nuestro país es su desigualdad. En España, hasta este año en que el tiempo de lluvia está siendo catastrófico en la mayoría de los sitios, cae suficiente agua (aunque lo suele hacer más en el Norte) para toda la península, pero se distribuye mal. Según lo reflejado en apartados anteriores, parece que explotar los acuíferos (subterráneos), además de ser más igualitario, permitiría desechar la idea de que el agua se reparte de manera poco entendible. Así como hay una parte de España mucho más húmeda, también existe otra distinta, más permeable, que curiosamente se encuentra en la parte oriental, próxima a la costa del Mediterráneo, y otras zonas impermeables que son precisamente las que tienen menos agua en sus acuíferos, salvo la cuenca del Duero y alguna otra como la parte fronteriza con Portugal. No se está hablando de coger el agua fluvial, el agua subterránea que se va a drenar del río, sino de hacer pozos a 300-400 m. de profundidad cementando la parte superior para de esa manera alcanzar el flujo subterráneo (SGB) que estamos perdiendo o  tirando al mar. No se trata de ninguna teoría; como se ha dicho: se ha hecho y se ha comprobado. Afirma el profesor Turrión: “Cuando medimos el nivel de agua en esos pozos, en esos embalses subterráneos que tienen agua a presión, vemos que a lo largo de los últimos 40 años no han variado. Por tanto tenemos ese potencial para compaginarlo con las aguas superficiales de los pantanos y con las aguas desaladas. Es decir, en la cuenca del Segura se podría ser perfectamente autosuficiente utilizando el agua desalada y las aguas subterráneas de los acuíferos inferiores”.

Evolución media anual de la capacidad de los en España. Período 1990-2017.

Aunque estén relacionados, la escasez de agua y la sequía son fenómenos diferentes, que además se pueden agravar en función de su impacto individual. La escasez se produce donde no hay suficientes recursos hídricos disponibles para satisfacer las demandas de agua a medio o largo plazo y la sequía se considera como una disminución temporal de la disponibilidad de agua por falta de precipitaciones. El año hidrológico 2017 (1 octubre-30 septiembre) ha concluido con un 14 por ciento menos de lluvia de lo ‘normal’ agudizando la situación de sequía en toda España. Es hora de empezar a hablar de los embalses subterráneos como una fuente más a utilizar. Un recurso que nunca se ha tenido en cuenta en los datos aportados y mucho menos lo que supondría su explotación de manera sostenible cuando se habla de sequía.


Del coronel al soldado y viceversa: reparto de 28 caballos en 7 cuadras

septiembre 11, 2017

Se trata de un ‘problema’ matemático lleno de sorpresas a medida que va pasando por el escalafón militar de un cuartel. A primera vista, la ‘operación’ no parece tener sentido y pudiera… ser así. Aunque no es de profundidad, matemática se entiende, encierra mucho humor incluso hasta su desenlace. El país, lugar y situación donde transcurre es lo de menos. En nuestro caso lo hemos adaptado a la historia contada aquí con mucha gracia que comienza con la socorrida frase… “Érase una vez…”. A esta sección conviene ponerle un poco de humor de vez en cuando y este ‘problema’ cumple los requisitos. ¡Al final todo cuadra! Dice así:

“Érase una vez…, hace mucho tiempo, el coronel de un regimiento recibe un mensaje comunicándole que muy pronto le llegarían los caballos por él solicitados.
Al cabo de unos días un joven soldado se acerca al cuartel con 28 caballos. Previa parada en la entrada, donde muestra su credencial, el centinela del puesto se lo comunica al cabo de guardia, que le acompaña al despacho del sargento al que, tras pedirle permiso para entrar, se presenta con el saludo correspondiente:

– A sus órdenes mi sargento. Traigo conmigo los 28 caballos solicitados por este regimiento. Están amarrados y en estado de revista a la entrada del cuartel.
– Bien, soldado. Los estábamos esperando. Llévalos al patio y repártelos adecuadamente en las siete cuadras iguales que hay en él.
– Lo haría con gusto mi sargento, pero tengo un problema para cumplir su orden: no sé cómo hacerlo, soy analfabeto y de números sólo sé contar con los dedos, y nada más.

El sargento, se rascó la cabeza bajo la gorra, torciendo el gesto.
– Es el caso, soldado, que aunque yo sí entiendo de cuentas, sólo sé sumar, algo que me enseñó a hacer el capitán, y esa operación requiere otros conocimientos superiores. Ve a su despacho y que él te resuelva el problema.

El soldado se presentó de igual manera al capitán, quién le dijo que él, enseñado a su vez por el coronel, aparte de sumar y restar, sólo alcanzaba a multiplicar, operación muy útil, pero insuficiente para la complejidad de aquel problema. Por ello, lo envía al coronel para quién las matemáticas no tenían secreto alguno ya que incluso sabía dividir.

Tras solicitar su permiso, entra en su despacho, donde le pone al corriente de las diligencias hechas con sus subordinados. El coronel se retrepó entonces en la silla sonriendo con suficiencia.
– No te apures soldado, estás de suerte puesto que además de ser la máxima autoridad del regimiento, soy el único que domina con soltura la difícil operación de dividir necesaria para este menester, así que yo te diré cuantos caballos has de meter en cada cuadra para que queden equitativamente repartidos.

Dicho esto, cogió papel y lápiz y se puso a la tarea. Escribió, como debe ser, el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha encerrado en su caja y, entre dientes, razonó:
– Dos entre siete, no cabe, por tanto cojo el ocho, que sí cabe.
Ocho entre siete, a uno. Uno por siete, siete. De siete a ocho, uno y me bajo el dos, lo que nos da veintiuno, que entre siete son tres. Como el resto es cero, el resultando de la división es exactamente trece.
– Ese es el número de caballos que has de meter en cada cuadra. Ve, hazlo y después di al sargento que te den vino, un chusco y un catre donde descansar. Puedes retirarte.
– A las órdenes de usía mi coronel- se despidió el soldado con un marcial taconazo.

Al pasar por la puerta del despacho del capitán éste le llamó interesándose por el resultado del problema, deseando impresionar con sus habilidades matemáticas al soldado.
– Si el coronel te ha dicho que son 13 los caballos que debes encerrar en cada cuadra así será. No obstante, no estará de más que yo lo compruebe para asegurarnos de que esté bien hecha. Si multiplicamos los trece caballos que has de meter en cada cuadra por el número de éstas, o sea, siete, forzosamente nos han de salir los veintiocho que traes. Veamos pues.
Con no menos pericia que el coronel, fue recitando los pasos de la delicada operación.
– Siete por uno, son siete. Vamos con el otro. Siete por tres, veintiuno, que sumado al siete de antes, hacen veintiocho. Justo y cabal, soldado. El coronel, como siempre, está en lo cierto. Cumple pues su orden.

Tal y como le había ordenado el coronel, el joven se dirigió al despacho del sargento, más no le hizo falta entrar pues antes de llegar a la puerta ya salió aquel a su encuentro ansioso por poner en práctica su dominio de la suma e impresionar también al soldado. Una vez que hubo conocido el resultado obtenido por el jefe y avalado por el oficial, dijo:
– Si el coronel y el capitán han calculado que debes meter trece caballos en cada cuadra así habrá de ser, pero por asegurarnos y también porque veas la utilidad de la suma que, al fin y al cabo, no deja de ser una multiplicación más trabajada, pasa y observa como hago la comprobación para que vayas sabiendo de cuentas, por si con los años medras en la milicia y llegas a ser clase de tropa o hasta suboficial, como yo.

Dicho lo cual, sacó lápiz y papel y dispuso, como debe ser en una suma bien hecha, los siete treces en una columna para después, sin encomendarse a Dios ni al diablo y sin hacer distingos entre izquierda, derecha, arriba o abajo, sumar de corrido sin dejar ni uno todos los números que tenía delante.
– Así que tenemos… uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres, mas uno más tres… que hacen en total de… Mmmm… ¡Veintiocho!
– ¿Ves, como las matemáticas nunca fallan? Mete tranquilo las trece bestias por cuadra y ven después a que te facilite acomodo para que pases la noche./strong>

El soldado llevó los caballos hasta los establos, abrió las puertas de aquellos reducidos espacios y contándolos con cuidado para no equivocarse empezó a introducirlos una a uno.
– Uuuno, dooos, treees, cuaaaatro, ciiinco, seeeis… Hasta seis llegaron a entrar; y ni uno más, pues los animales, espantados al verse hacinados en aquel cubículo desconocido y oscuro, organizaron tal barahúnda de coces, relinchos y mordiscos que las paredes de la cuadra amenazaban con quebrarse. El joven, asustado, los hizo salir de nuevo, calmándolos después como pudo.
– Veamos: tres hombres sabios no pueden estar equivocados y las matemáticas esas, de las que tan bien hablan todos, tampoco -se dijo-. Piensa, Rufino-que así se llamaba el soldado-, y cumple bien la orden que te han dado si es que quieres hacer carrera en la milicia.
– Trece, trece, trece…-repetía angustiado para sí-. Recordó haber visto escrito aquel número en todas las operaciones: Trece. Y de golpe, una luz iluminó su entendimiento. ¿Qué es un trece sino un uno y un tres?
Esperanzado, metió en la primera cuadra un caballo atravesado al fondo y tres perpendiculares a él en la parte delantera. Un uno y un tres. O sea, un trece. Trece caballos cómodamente ubicados. Cerró la puerta y repitió la misma operación en las otras seis cuadras, comprobando aliviado que no sobraba ni faltaba ninguno.

Mas poco duró la tranquilidad al bueno de Rufino pues el coronel, alarmado por el alboroto que se había organizado hacía un momento, bajó a ver qué sucedía.
– No se preocupe, mi coronel, que consciente de mi error lo he enmendado y cada cuadra está ocupada por los trece caballos que usía indicó. Ahora duermen tranquilos en ellas.
– Eso parece, soldado, pero ya que he bajado, quiero comprobar que lo que dices es cierto. Abre las cuadras y contemos los animales que pernoctan en ellas.
– Es el caso, mi coronel, que ya están cerradas con llave y además los caballos han hecho un largo viaje. Es lástima que haya que despertarlos.
– Razón llevas muchacho, más no hará falta tal cosa puesto que por suerte yo estoy aquí y con una simple división podremos contar los equinos sin necesidad de abrir ninguna puerta. Échate al suelo y por el hueco que hay bajo una de ellas cuenta las patas que veas.
El soldado obedeció al instante y, no sin trabajo, las contó.
– Cabalmente, cuento dieciséis, mi coronel.
– Bien, pues dividamos dieciséis por las cuatro patas que tiene un caballo y el resultado nos dará el número de ellos que hay dentro.

A falta de papel y lápiz, el coronel se agachó y con el dedo en la tierra del suelo hizo la consabida cuenta que recitó también en voz alta para que lo viera el ignorante soldado.
– Uno entre cuatro, no cabe, pasemos pues al seis. Seis entre cuatro, a uno; uno por cuatro es cuatro; cuatro a seis, dos y me bajo el uno. Doce entre cuatro, tres. Tres por cuatro, doce, al doce, cero. Podemos dormir tranquilos, muchacho, y jurar ante Dios que trece, ni uno más ni uno menos, son los caballos que ahora mismo duermen en cada cuadra.

Y ahora, querido lector, ¿no crees que la Matemática, además de ciencia exacta, puede ser benévola con la ignorancia y también dejar lugar para la fantasía? En realidad es un chiste matemático más que un problema en sí. Seguro que uno enseguida se da cuenta de que los números no cuadran O eso esperamos. De ahí la pregunta, aunque sea muy fácil: ¿donde se encuentran los errores y los aciertos en las respuestas de la cadena de mando?: ¡Desde el coronel al soldado!

Ver solución en “Los cinco discos y la inteligencia racional”.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el post: “Elección de cartas, un problema sencillo en un difícil contexto”

La solución correcta pasa por “darle vuelta a dos cartas: la que muestra un 8 y la que tiene el reverso marrón”. ¿Por qué? ¡Sólo una carta con número par y un color que no sea el rojo puede invalidar la proposición! Es decir, si le damos la vuelta a la carta con el 3, da igual que el reverso sea rojo o marrón: ¡esto no la anula! Lo mismo ocurre con la carta roja: ¡da igual que la otra cara sea par o impar! Sin embargo, si la carta con el 8 tiene el reverso marrón o la carta marrón tiene una cara con un número par: ¡la regla no se cumple! Así de fácil y al mismo tiempo así de complicado: ¡solo se cumple cuando le damos vuelta a las cartas citadas!

Un problema de lógica sencillo, que muy pocos (10 %) aciertan a la primera, que sigue desconcertando a los psicólogos tras más de 50 años y donde el contexto es una parte muy importante. Las personas pretendemos razonar de forma analítica, pero muchas veces nuestras decisiones no siguen una línea racional. En un próximo post trataremos de explicar por qué nuestro cerebro tiende a operar de esta manera.