El problema del joyero y el acertijo del collar de la dama

La Matemática Recreativa es un área dedicada a difundir de forma divertida (“aprender jugando”) conocimientos matemáticos en los que intervienen la lógica o el cálculo, pero siempre de manera muy sencilla. Martin Gardner, famoso por su columna “Juegos Matemáticos” que publicaba en la revista científica “Scientific American” y autor de varios libros de entretenimiento, fue uno de los promotores más activos de esta forma de aprendizaje. Gran admirador de Sam Loyd, uno de los mayores creadores de acertijos de Estados Unidos, se dedicó también a divulgar la obra de este gran matemático recreativo, del que “El acertijo del collar” (“The Necklage Puzzle”) es uno de los más conocidos. Dice así:

“Una dama compró doce trozos de cadena tal como se muestra en la figura de abajo, y quiso montar un collar cerrado de 100 eslabones. Al preguntarle el precio al joyero le dijo que le costaría 15 centavos cortar y unir un eslabón pequeño y 20 centavos por la misma operación en un eslabón grande. La pregunta es: ¿Cuál es la cantidad mínima que debe pagar la dama para que se le haga el collar?”

Ver solución en: “El desafío de Einstein, un problema de pura lógica”. No sin antes citar las frases que el propio Sam Loyd, años después de haberse publicado, dejó escritas de manera premonitoria:

“Aprovecharé la ocasión para señalar que el hecho de que mis acertijos sean muy conocidos no implica que todo el mundo conozca las respuestas. Las respuestas de algunos de los más populares jamás han sido publicadas y, por lo que se, tampoco han sido descubiertas.

Ejemplificaré este punto presentando el “acertijo del collar” que mostré varios años atrás y que hace que cada persona que lo ve crea que podrá resolverlo de forma inmediata. Sin embargo, no recuerdo que nadie haya encontrado la respuesta correcta.

Está basado en una transacción comercial cotidiana, y demuestra hasta que punto se equivoca la persona común cuando se trata de hacer algo que demanda un mínimo de habilidad o conocimiento matemático. Está desprovisto de cualquier tipo de trampa o subterfugio, y no hay en él ningún “eslabón perdido” misterioso.

Fue propuesto a los principales joyeros y orfebres de Nueva York, quienes dijeron que no emplearían a ningún vendedor que no pudiera dilucidar una transacción tan simple, pero ninguno de ellos acertó en su respuesta.

Samuel Loyd, más conocido como Sam Loyd, nació en 1841. Además de su fama con los acertijos, fue también un gran jugador de ajedrez y autor de rompecabezas notables.

Aprendió a jugar al ajedrez cuando tenía diez años. A los catorce publicó su primer problema sobre este juego en el New York Saturday Courier y pocos años más tarde era ya reconocido como el mejor estratega de todo el país. En esa época existía un enorme interés popular y los periódicos solían publicar una columna con problemas enviados por los lectores. Su fama la adquirió ganando premio tras premio gracias a sus ingeniosas y poco convencionales ideas. Muchas veces su imaginación le llevaba a planteamientos que se podían considerar “fantásticos”. En una ocasión, Loyd anunció en una de sus columnas que había descubierto un sistema con el que un caballo y dos torres podían dar mate a un rey solitario en el centro del tablero. En principio los lectores se enfurecieron, pero luego se mostraron más que divertidos con la absurda solución que Loyd les propuso.

Sam Loyd no fue un jugador que destacase demasiado en los grandes torneos de ajedrez, aunque de vez en cuando ganaba las partidas con alguna combinación brillante. Una anécdota muy comentada ocurrió cuando en un torneo en París, en 1867, anunció un mate en ocho movimientos. Tras explicarlo a su contrincante, éste abandonó sin ni siquiera intentar su defensa. Lo peor vino más tarde cuando se descubrió que su oponente no sólo tenía una “salida”, sino que… ¡¡podía haberle ganado la partida!! Como es lógico, los jueces dieron ganador a Loyd, ya que previamente su contrario se había retirado y aceptado el posible desarrollo de la jugada.

En 1870, al tiempo que Loyd va perdiendo la ilusión por el ajedrez, su atención se concentra cada vez más en los acertijos matemáticos. Durante la década de 1890, escribió una columna de acertijos para el Brook Daily Eagle, y desde principios del siglo siguiente hasta su muerte, en 1911, sus columnas aparecían en numerosos periódicos y revistas. Después de su fallecimiento, su hijo Sam Loyd Jr editó varias colecciones de sus acertijos, siendo la más importante la Cyclopedia of Puzzles publicada en 1914. Fue un trabajo demasiado apresurado, y por tanto improvisado, con muchos errores; sin embargo, aún hoy sigue siendo la colección de acertijos más excitante existente en un solo tomo. Según Martin Gardner, en ese fabuloso volumen, hace mucho agotado, se desconoce quien es el autor de los dibujos, aunque queda claro que el texto es una reimpresión literal de las primeras columnas que Loyd padre hizo para diarios y revistas. Solo se corrigió en algún caso para lograr precisión y claridad, pero preservando siempre el estilo y la “historia” del original.

Muchos acertijos de la Cyclopedia de Loyd son similares a los que aparecen en los libros de Henry Ernest Dudeney (1857-1931), inglés de su misma época y otro famoso experto. Hay veces que parece que Dudeney se inspiró en Loyd y en otras sucede a la inversa. Es imposible decir con certeza quien y cuando uno se basó en el otro. Solo una cosa está clara: en apariencia ninguno de los dos vaciló en apropiarse y modificar las invenciones del otro, recurriendo ambos con frecuencia a fuentes como los acertijos tradicionales, a los que daban un nuevo giro.

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A continuación mostramos la solución al problema planteado en el artículo:“La altura de la pirámide de Keops y el teorema de Tales”

Según la leyenda, Tales trató este problema como un caso de triángulos semejantes. Tal y como especifica su primer teorema, uno de los principios básicos de la geometría es: “Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes (sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados son proporcionales entre si)”. Siendo su gran aplicación el siguiente corolario: “Si dos triángulos son semejantes sus lados son proporcionales”.O lo que es lo mismo: la razón entre la longitud de dos lados en uno de ellos se mantiene constante en el otro; algo que, según Herodoto, el propio Tales empleó para medir en Egipto la altura de la pirámide de Keops.

Es el caso de los dos triángulos rectángulos de la figura de abajo: uno de ellos, de catetos C y D (longitud de la sombra de la pirámide-conocida- y longitud de su altura- a determinar); y el otro, de catetos A y B (longitud de la vara clavada en el suelo- conocida y longitud de su sombra- conocida). Para su resolución solo quedaría realizar las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara de la pirámide. La longitud C será la suma de la longitud de la sombra de la pirámide y la mitad de la longitud de una de sus caras. Como las longitudes de la vara y su sombra, A y B, son conocidas, se puede ya calcular la altura de la pirámide (D=C*A/B).

Para los amantes de las leyendas, existen diversos relatos de cómo Tales midió la altura de las pirámide de Keops. A continuación reflejamos algunas:

Diógenes Laercio escribió en el siglo II d.C. citando a Jerónimo, un alumno de Aristóteles:
“Jerónimo dice que Tales hasta tuvo éxito en medir las pirámides mediante la observación de la longitud de su sombra en el momento en que nuestra sombra es igual a nuestra altura.” Era solo una observación empírica de que en el instante cuando la sombra de un objeto coincide con su altura entonces lo mismo debe ser cierto para todos los demás objetos”.

Una declaración similar hace Plinio:
“Tales descubrió cómo obtener la altura de las pirámides y de todos los otros objetos similares, simplemente haciendo la medición de la sombra del objeto en el momento que un cuerpo y su sombra son iguales en longitud.”

Sin embargo, Plutarco cuenta la historia de una manera que significaría que Tales se estaba acercando a la idea de los triángulos semejantes:
“Tales, sin ayuda de ningún instrumento, solo colocó un palo en la extremidad de la sombra producida por la pirámide y habiendo realizado dos triángulos con la luz de los rayos solares,  mostró que la pirámide guarda respecto del palo la misma proporción que muestran sus sombras entre sí”. Este teorema tal y como está formulado no aparece hasta tres siglos después en el libro VI  de los Elementos de Euclides.

Egmont Colerus, en su “Breve historia de las Matemáticas”, escenifica cómo Tales pudo medir con exactitud la altura de la Pirámide de Keops:
“Se echa sobre la arena y determina la longitud de su propio cuerpo. Entonces los sacerdotes le preguntan a Tales en que está pensando, y les explica: “Me pondré sobre un extremo de esta línea que mide la longitud de mi cuerpo y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante, la sombra de la pirámide también ha de medir tantos pasos como su altura”. Desorientados por la sencillez de la solución, le preguntan si acaso no existirá algún error. Más Tales añade: “Pero si queréis que os mida esa altura a cualquier hora, clavaré en la arena mi bastón. ¿Veis?, ahora su sombra es aproximadamente la mitad de su longitud; por tanto, en este momento también la sombra de la pirámide mide la mitad de su altura. Ahora ya sabéis como poder medirla en cualquier momento: os bastará comparar la longitud del bastón con la de su sombra para encontrar, mediante división o multiplicación con la sombra de la pirámide, la altura de ésta”

Finalmente, existe una novela, “El teorema del loro” de Denis Guedj, en la que se cuentan esta y otras muchas historias de las Matemáticas. Acerca de Tales y su medición de la pirámide de Keops dice lo siguiente:
“La relación que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya, y por tanto, en el mismo instante que mi sombra sea igual a mi estatura, la sombra de la pirámide será igual a su altura”. ¡¡Hete aquí la solución que buscaba!!”.
Solo faltaba ponerla en práctica y como Tales no podía hacerlo solo, necesitaban ser dos, el fellah (campesino) que le acompañaba accedió a ayudarlo. Al día siguiente, al alba, el fellah fue hacia el monumento y se sentó bajo su sombra inmensa. Tales dibujó en la arena un círculo con un radio igual a su propia estatura, se situó en el centro y se puso de pie bien derecho (perpendicular a su sombra). Luego, fijó los ojos en el borde extremo de su sombra. Cuando ésta tocó la circunferencia, es decir, cuando su longitud era igual a su estatura, dio un grito convenido. En ese momento, el fellah, atento, plantó de inmediato un palo en el lugar donde estaba el extremo de la sombra de la pirámide. Tales corrió hacia el palo y, sin intercambiar una sola palabra, con la ayuda de una cuerda bien tensa midieron la distancia que separaba el palo del centro de la pirámide y supieron su altura pues ambas tenían que ser iguales”

Es posible que sucediera de alguno de los modos descritos, pero… ¿cómo llegar a saberlo?

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